Tuplam doz irgi kunda matematikaning eng umumiy va shu bilan birga eng boshlangich tushunchalaridan biridir. Matematikada tuplam deganda narsalarning, vddisalarning ixtiyoriy majmui (sinfi, birlashmasi) tushuniladi

Tuplam doz irgi kunda matematikaning eng umumiy va shu bilan birga eng boshlangich tushunchalaridan biridir. Matematikada tuplam deganda narsalarning, vddisalarning ixtiyoriy majmui (sinfi, birlashmasi) tushuniladi. Tuplamni tashkil etuvchi narsalar, dodisalar uning elementlari deb ataladi. Kupincha tuplamning elementlari uzlarining bir yoki bir nechta xossa va belgilari bilan tuplamga kirmagan narsalardan, dodisalardan ajralib turadi. Tuplamga kiruvchi barcha elementlar turli x^soblanadi, ya’ni unda aynan bir xil elementlar bulmaydi. Odatda tuplamlarni katta lotin ^arflari bilan, ularning elementlarini esa kichik lotin ^arflari bilan belgilanadi. Tuplamlarga misollar: 1) Er yuzidagi barcha odamlar tuplami; 2) Er yuzidagi barcha davlatlar tuplami; 3) Ushbu 1, 2, 3, 4 sonlardan iborat tuplam; elementlari bu usulda birin-ketin ta’riflab berilgan tuplamlarni kuyidagicha belgilash kabul kilingan: {1, 2, 3, 4}; 4) Nn = {1, 2, p) — 1 dan p sonigacha bulgan natural sonlar tuplami; 5) N = {1, 2, 3, ...} — barcha natural sonlar tuplami; 6) Z — barcha butun sonlar tuplami; 7) Q — barcha ratsional sonlar tuplami; 8) R — barcha ^akik^y sonlar tuplami. Bundan keyin x,am JV, N, Z, Q, R belgilarni xuddi shu tuplamlar uchun ishlatamiz. www.ziyouz.com kutubxonasi Kulaylik uchun birorta x;am elementga ega bulmagan tuplam xam kuriladi. Uni bush tuplam deb ataladi va 0 bilan belgilanadi. Ushbu x G A yozuv bilan x element A tuplamning elementi ekanligi belgilanadi; bu xolda x element A tuplamga tegishli (A tuplamda yotadi) deyiladi. Aks xol ya’ni x elementning A tuplamga tegishli emasligi x G A bilan belgilanadi. Ta’rif. Agar A tuplamning %ar bir elementi V tuplamga xam tegishli bulsa, A tuplam V tuplamning sism tuplami (sismi) deyiladi va A S V yoki V O A bilan belgilanadi. Bu xolda V tuplam A tuplamdan katta yoki teng, A tuplam esa V tuplamdan kichik yoki teng xam deyiladi. Ushbu "S" va belgilar esa tuplamlar orasidagi tengsizlik munosabati deyiladi. Masalan, yusoridagi misolimizda N tuplam Z tuplamning sism tuplami, N S Z. Bu ta’rifdan bevosita kuyidagi xossalar kelib chitsadi: 1) Bush tuplam xar sanday A tuplamning sism tuplamidir, ya’ni 0 S A\ 2) Xar sanday A tuplam uchun A S A (tengsizlikning refleksivlik xossasi); 3) Agar A S V va V S S bulsa, u xolda A S S (tengsizlikning tranzitivlik xossasi). Agar A S V bulsa, kupincha A ning elementlari V ning A ga kirmagan elementlaridan bir yoki bir nechta xossalar bilan ajralib turadi. Bunday sism tuplamlarni kuyidagicha belgilaymiz: A = {x G V \ x E A n k belgilaydigan xossalar }. Masalan, A = {p G N | p soni 3 ga bulinganda soldits 1}, ya’ni A tuplam birinchi xadi 1 va ayirmasi 3 bulgan arifmetik progressiya xadlaridan iborat. Ta’rif. Agar A S V va V S A bulsa, A va V tuplamlar teng deyiladi va A = V bilan belgilanadi. Aks xol, ya’ni A va V tuplamlarning tengmasligi A * V bilan belgilanadi. www.ziyouz.com kutubxonasi Bu ta’rifdan tenglik munosabatining kuyidagi xossalari bevosita kelib chikddi: 1) Xar k,anday A tuplam uchun A = A (tenglikning refleksivlik xossasi); 2)Agar A = V bulsa, u xolda V = A (tenglikning simmetriklik xossasi); 3) Agar A = V va V = S bulsa, u xolda A = S (tenglikning tranzitivlik xossasi). Agar A va V tuplamlar uchun A s V va A V urinli bulsa, buni k,isk,acha A S V bilan belgilaymiz. Ushbu "S" va "E" belgilar tuplamlar orasidagi sat’iy tengsizlik munosabati deyiladi. Ushbu A S V munosabatning ma’nosi shundan iboratki, A ning xar bir elementi V ga tegishli, ammo V ning A ga tegishli bulmagan elementlari mavjud. Masalan, yukrrida keltirilgan tuplamlar uchun NnG N c Z c Q c R . Ravshanki, agar A S V va V S S bulsa, A S S (k,atiy tengsizlikning tranzitivlik xossasi). SHuni aytish kerakki, A S V va V S A shartlar bir vak,tda urinli emas. Bush bulmagan xar sanday A tuplam ikkita turli kdsm tuplamga ega: 0 , A; bu k,ism tuplamlar xosmas kdsm tuplamlar deyiladi. Boshk;a (ya’ni 0 S V S A shartni k;anoatlantiruvchi) k;ism tuplamlar xos kdsm tuplamlar deyiladi. Bush tuplam va bitta elementdan iborat tuplam xos kdsm tuplamlarga ega emas. Elementlarining uz i xam tuplam bulgan tuplamlar kup uchraydi. Ular tuplamlar tizimi deyiladi. Masalan A tuplam tekislikdagi barcha tugri chizikdardan iborat tuplam bulsin. Bu misolda A tuplamning elementi — tugri chizik^shng uzi — tuplam bulib, bu tuplam shu tugri chizikda yotuvchi barcha nuk^alardan iborat. Bu erda tugri chizik^ing uzi A tuplamga kiradiyu, ammo undagi nuk^alarning birortasi xam A tuplamning elementi emas. Tuplamlar tizimi elementlarini ba’zan katta lotin Xarflari bilan belgilanadi. www.ziyouz.com kutubxonasi 2-§. TUPLAMLAR ALGEBRASI Tuplamlar ustida bir nechta amallar bajarib, bu amallarning xossalarini urganamiz. A va V — ixtiyoriy tuplamlar bulsin. Bu ikkita tuplamdan iborat {A, V} tuplamlar tizimini k;araymiz. Agar s E A va s G V shartlarning ikkalasi xam urinli bulsa, bunday s element A va V tuplamlarning ({A, V) tizimning) umumiy elementi deyiladi. Ta’rif.LvaB tuplamlarning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan tuplam A va V tuplamlarning kesishmasi (ba’zan kupaytmasi, umumiy kismi) deyiladi va A P V bilan belgilanadi. ' Masalan, A ={0, 1, 2, 3} va V ={1, 3, 5, 7} b^lsa, u xolda A P V={\, 3}. Kesishma amali ta’rifidan kuyidagi xossalarning Urinliligi bevosita kelib chikadi: aj) Xar k^ndayL tuplam uchunL PA = A , A P 0 = 0P A = 0 . a2) Xar kanday A va V tuplamlar uchun A P V =V P A (kommutativlik xossasi). a3) Xar kanday A, V, S tuplamlar uchun (A P V) P S = = A P (V P Q (assotsiativlik xossasi). a4) Xar kanday A va V tuplamlar uchun A 2 A (1 V va V D A L V. a5) Agar A, V, S tuplamlar uchun A □ S va V □ S bulsa, u xolda A P V □ S. Agar A va V tuplamlarning kesishmasi bush tuplam, ya’ni A L V = 0 bulsa, ular kesishmaydigan tuplamlar deyiladi. Agar x element uchun x e A va x G V shartlarning kamida biri urinli bulsa, bunday element {A, V) tizimga tegishli deyiladi. T a ‘ r i f. {A, V) tizimga tegishli bulgan barcha elementlardan tuzilgan tuplam A va V tuplamlarning birlashmasi (ba’zan, yitndisi) deyiladi va A U V bilan belgilanadi. Masalan, agar A = {0, 1, 2, 3} va V = {1, 3, 5, 7} bulsa, u xolda A U V = {0, 1, 2, 3, 5, 7}. www.ziyouz.com kutubxonasi Birlashma /amali ta’rifidan kuyidagi xossalarning urinliligi bevosita kelib chitsadi: bj) Xar sanday A tuplam uchun A U A =A, A U 0 = 0 U A = A. 2) Xar sanday A va V tuplamlar uchun A U V = V U A (kommutativlik xossasi). 3) Xar sanday A, V, S tuplamlar uchun (A U V ) U S = A U (V U S) (assotsiativlik xossasi). 4) Xar kdnday A va V tuplamlar uchun A S A U V va V S A U V.' 5) Agar A, V, S tuplamlar uchun A S S va V S S bulsa, u xolda A U V S S. Xar sanday A, V, S tuplamlar uchun kesishma va birlashma amallarini uzaro boshaydigan suyidagi ayniyatlar (distributivlik xossalari) urinli: s,) A U (V P S) = (A U V ) P (A U S). s2) A P (V U S) = (A P V ) U (A U S). Bularning birinchisini isbotlaymiz. Buning uchun A U ( B n Q C ( A U B ) n ( A U S)vaA1> (V P C ) D ( A U B ) P (A U S) munosabatlarning ikkalasi xam urinliligini kursatish kifoya. YUsoridagi (4) xossaga kura A S A U V va A S A U S. Bundan a5) xossaga asosan A S (A U V ) P (A U S). YUsoridagi a4) va 4) xossalarga asosan V G\ S Q V S A U Vv a V P S S S S A U S. Bundan a5) munosabatga kura V P S S (A U V) P (A U S). Natijada 5) xossaga asosan A U (V P S) S (A U V) P (A U S). Endi A U (V G \ S ) 3 (A 1 ) V ) P (A P S ) munosabatni isbotlaymiz. Faraz silaylik, x E (A U B ) D (A U S). U Xolda x E A i V v a x E A i S. Bu erda ikki xol bulishi mumkin: 1) x E A; 2) x E A. Birinchi xolda x E A dan x E A U (V P Q munosabat kelib chitsadi. Ikkinchi xolda x E A, x E A U V, x E A U S munosabatlardan x E V va x E S ekanligi, ya’ni x E V G\ S kelib chitsadi. Bundan x E A U (V P S). Demak ikkala xolda xam xE A U (2?P S). Bu erda x elementning ixtiyoriyligidan (A U V) P (A U S ) S A U (V P S) munosabatni olamiz. SHu bilan s,) xossa isbotlandi. www.ziyouz.com kutubxonasi Ikkinchi ayniyatning isboti birinchining isbotiga uxshash; uni isbotlashni ukuvchiga x,avola silamiz. T a ‘ r i f. A tuplamning V tuplamga kirmagan elementlaridan iborat tuplam A va V tuplamlarning ayirmasi (bazan V ning A dagi tuldiruvchisi) deyiladi va A\V bilan belgilanadi. Masalan, agar A = {0, 1, 2, 3} va V = {1, 3, 5, 7} bulsa, u xrlsa A\V = {0, 2} va V\A = {5, 7}. Bu misoldan kurinadiki, tuplamlarni ayirish amali uchun kommutativlik xossasi x;ar sanday A va„# tuplamlar uchun urinli emas. Bu amal uchun assotsiativlik xossasi x;am urinli emas. Bunga mos misol topishni ukuvchiga ^ v o ­ la k,ilamiz.