Tuproqli to'g'onida filtrlashning teskari masalasi

Tuproqli to'g'onida filtrlashning teskari masalasi
Filtratsiya sohasi ABCDE бир жинсли тупроқли тўғонда жойлашган горизонтал сувбардошли AE 3.1-расмда кўрсатилган. Filtratsiya koeffisienti k, b’eflardagi suv sathi H₁ и H₂, sizilish uchastkasi balandligi y_c, to’g’on orqali suyuqlik sarfi Q va sizilish uchastkasi orqali suyuqlik sarfi Q1. Suv o'tkazuvchan to'g'on yonbag'irlarida AB, CD и DE ga mos ravishda tokning funksiyasi berilgan ψ= ψ_n(ψ), n= . ψn(y) funksiyasiga teskari yn(ψ) = ψn-1(y) bildiruvchi Gelder shartini qanoatlantiruvchi funksiya mavjud.

3.1-расм
O'tkazuvchan qiyalik uchastkalarining shaklini aniqlash (yuqori qiyalik AB va quyi oqim CDE o'tish qismi CD bilan) va BC depressiya egri chizig'ini topish talab qilinadi.
Yechim. A nuqtada z = x + iy fizik tekislikdagi koordinatalarning kelib chiqishini tanlaymiz. U holda matematik jihatdan masalani quyidagicha shakllantirish mumkin. G_z filtrlash hududining chegarasini va ushbu mintaqada analitik bo'lgan va chegarada quyidagi shartlarni qondiradigan kompleks potentsial funktsiya w(z) ni aniqlang:

AB da BC da CD da DE da EA da

(3.1)

E'tibor bering, ψ_n(y) funktsiyalari quyidagi shartlarga javob berishi kerak: ψ₁(0)=ψ₃(0)=-Q, ψ₁(H₁)=ψ₂(y_c)=0, ψ₂(H₂)=ψ₃(H₂)=-Q₁.
Chegaraviy shartlar (3.1) bilan to'liq aniqlanadigan w kompleks potentsial tekisligida Gw sohasini hisobga olamiz (3.2-rasm). Ushbu sohada z(w) =x(ϕ, ψ)+iy(ϕ, ψ) analitik funktsiyani ko'rib chiqamiz. G_w sohasining Г_w chegarasida bu funksiyaning quyidagi chegara shartlarini qanoatlantiradi.

AB da BC da CD da DE da EA da

A nuqtada x=0

(3.2)

3.2-rasm
Shunday qilib, chegarada berilgan xayoliy qism bilan G_w da chegaralangan z(w) analitik funksiyani aniqlash talab etiladi. Ma'lumki, bu muammoning echimi mavjud va yagonadir. G_w sohasini ζ = ξ+in tekislikning yuqori yarim tekisligi Im ζ > 0 konformal xaritasini tuzamiz, shunda ζ = ∞ nuqta Г_w chegarasining EA segmentining qandaydir ichki nuqtasiga mos keladi. Unda funksiya z(ζ) = x(ξ, η) + iy(ξ, η) Shvarts formulasi bo’yicha aniqlanadi

bu yerda C haqiqiy konstanta, chunki z-tekislikda koordinata boshi aniqlangan.
Ushbu formulada ζ → ξ chegaraviy o'tishni amalga oshirib, haqiqiy va xayoliy qismlarni bo'lib, biz to'g'on profilining chegarasi uchun parametrik tenglamalarni olamiz.

bunda integral asosiy qiymat ma’nosida tushuniladi.

5.2. Bu variantda masala bayoni oldingi variantdan farq qiladi, chunki AB yuqori qiyaligi ma'lum, ya'ni x o'qiga 0 < θ < 1/2 nishab burchagi πθ bo'lgan to'g'ri chiziqli hisoblanadi.

Pastga tushish CDE ning o'tkazuvchan qismini va BC tushirish egri chizig'ini aniqlash talab qilinadi.
Masalani yechimini shunga o'xshash tarzda hal qilamiz. Keyin (3.1) shartlarning birinchisi AB uchun quyidagi shart bilan almashtirilishi kerak:

Bu shartlar w tekisligida G_w sohasini qurishga ham imkon beradi, uning chegarasida z(w) funksiya shartlardan (3.2) AB ning birinchi qatori bilan farq qiluvchi shartlarni qanoatlantiradi:

Natijada z(w) funksiyani aniqlash masalasi chiziqli Gilbert masalasidir. Masalaning indeksi −1 ga teng, shuning uchun bu masala echilishi mumkin va uning yechimi yagonadir. Xuddi shunday kanonik z tekislikni kiritib, G_w ni Im ζ > 0 yuqori yarim tekislikka mos ravishda chizib, z(ζ) funksiyani quyidagi formula bilan aniqlaymiz:

Bu yerda ξa, ξb, ξe lar ζ tekislikka mos ravishda A, B, E nuqta koordinatasida
ζ = ξ > ξ_b uchastkada qanoatlantiruvchi, R(ζ) = (ζ − ξa)θ(ζ − ξb)1−θ shox tanlangan.