Tuproqli to'g'onida filtrlashning teskari masalasi

Kanaldan filtrlashning teskari muammosi
Masalani qo’yilishi. Fizik tekislikda z=x+iy, biz noma'lum shakldagi kanaldan filtrlashni ko'rib chiqamiz. T=H chuqurlikdagi filtrlash maydoni G_z AD gorizontal drenaj qatlami bilan yotqizilgan (3.3-rasm). Qidirilayotgan BC chegaradagi kanal kengligi bo'ylab oqim tezligi funktsiyasi berilgan

bu erda l - kanal kengligi va ψ(0) = 0. Filtratsiya koeffitsienti k va filtratsiya sarfi Q ma'lum, ya'ni ψ(l) = Q.
BC kanal profilini va AB va CD depressiya egri chiziqlarini qurish talab qilinadi.

3.3-rasm

3.4-rasm


Yechim. G_z da analitik bo'lgan kompleks potensialning w(z) funksiyasini kiritamiz. Quyidagi chegaraviy masalani tuzamiz. G_z filtrlash hududining chegarasini va chegaradagi quyidagi shartlarni qanoatlanruvchi w(z) kompleks potentsial funksiyasini quyidagicha aniqlaymiz:

AD da AB da CD da BC da

(3.3)

w tekisligida filtrlash hududi G_z k_H va Q tomonlari bo'lgan G_w to'rtburchakka to'g'ri keladi (3.4 a-rasm). Funktsiya bo'yicha G_w ni yuqori yarim tekislikka Im ζ > 0 (3.4 b-rasm) ζ = ξ + iη tekislikda mos ravishda chizamiz.

(3.4)

bu yerda F(arcsinζ, λ) birinchi turdagi elliptik integral bo‘lib, λ moduli munosabatdan topiladi.

(3.4) tenglamdan quyidagilarni topib olamiz

BC da AB, CD da

(3.5)

Jukovskiy funktsiyasi bilan ko’rib chiqamiz:

(3.6)

bu yerda

(3.7)

(3.3) ni hisobga olib, ze(ζ) funksiya uchun chegara shartlarini yozamiz.

BC da AB, CD da ND, AN da

ψ = f(x) bog'liqlik BC ga berilganligi sababli, x = f^-1(ψ) va demak, (3.5) ni hisobga olgan holda bo'ladi.
Shunday qilib, uchun biz yuqori yarim tekislikda aralash chegaraviy masalaga egamiz. Uning yechimi quyidagi formula bo'yicha topiladi:

(3.8)

Bu yerda dan keyin ζ = ξ > 1 segmentida musbat bo‘lgan tarmoq qo‘yiladi. (3.8) ni (3.7) ga almashtirib, (3.6) ni inobatga olgan holda ζ → ξ ni yo'naltirib, kerakli kanal profilining parametrik tenglamalarini aniqlaymiz:

(3.9)

bu yerda -1 ≤ ξ ≤ 1 va depressiya egri chiziqlari uchun tenglamalar:

Bu erda CDda (−1/λ≤l≤−1) integraldan oldin “-” belgisi va ψ=Q, AB da (1≤ξ ≤1/λ) oldidan “+” va ψ = 0 olinadi.