Turg’unlik tushunchalari va aniqlash

3.Turg’un Mixaylov mezoni.
Mixaylovning turg’unlik mezoni o’zining mohiyati jihatidan argumentlar prinsipining geometrik tasviridir.
D (r)=a₀r_p+a₁r_p-1+…..+a_p=0 (10)
Xarakteristik tenglama berilgan bo’lsin.
Bunda D(R) polinomni xarakteristik polinom deb ataladi. Sistema turg’un bo’lishi uchun xarakteristik tenglamaning hamma ildizlari kompleks tekisligining chap yarim tekisligida joylashishi, ya’ni o’ng ildizlar soni 1=0 bo’lishi kerak. U holda argumentlar prinsipiga muvofiq
∆argD(jω)= nπ/2 yoki ∆argD(jω)= nπ shart bajarilishi kerak.
0<< 0<<
CHastota -<ω< o’zgarganda (jщ) vektorning kompleks tekisligidagi geometrik o’rniga Mixaylov gedografi deyiladi.
D(jω)=a₀(jω)ⁿ+a₁(jω)^n-1 +…….+aⁿ= U(ω) + JV(щ)
U(ω)=(a_n-a_n-2ω²+a_n-4ω⁴…) haqiqiy qism bo’lib, u chastotaga nisbatan juft funksiyadir.
U(ω)=U(-ω)
Mavhum qismi esa chastotaga nisbatan toq funksiya bo’ladi.
V(ω)=w(a_n-1+a_n-3w²-a_n-3w⁴+…)
V(-ω)=-V(ω)
Shunday qilib D(-jω) =U(ω)-JV(ω) bo’ladi.
Mixaylov mezonining ta’rifi:
Agar chastota 0<< o’zgarganda Mixaylov gedografi haqikiy musbat o’qdan boshlanib, koordinata boshi atrofida musbat (soat strelkasiga qarshi) yo’nalishda p^p/2 burchakka burilsa, u holda sistema turg’un bo’ladi. Bunda “p” xarakteristik tenglamaning darajasidir.
Quyida Mixaylov gedografining ko’rinishlarini keltiramiz. (3-rasm)
3-rasmda sistema turg’unlik shartlari uchun Mixaylov gedograflarining ko’rinishlari keltirilgan.

Mixaylov godografa tahlil qilinganda, undan quyidagi natija kelib chiqadi. Mixaylov godografi koordinata tekisligida kvadratlarni ketma-ket kesib o’tganda, u haqiqiy va mavhum o’qlarni birin-ketin kesib o’tadi.

Mixaylov godografi haqiqiy o’qni kesib o’tganda, uning mavhum funksiyasi nolga aylanadi, mavhum o’qni kesib o’tganda esa Mixaylovning haqiqiy funksiyasi nolga aylanadi. Shuning uchun godografning haqiqiy va mavhum o’qlarni kesib o’tgan nuqtalaridagi chastotaning qiymati U(w)=0 (a), V(w)=0 (b) tenglamalarining ildizlari bo’lishi kerak. 4-rasmda bu funksiyalarning grafigi keltirilgan.


4-rasm.
Bu egri chiziqlarning absissa o’qi bilan kesishgan nuqtalari (a) va (b) tenglamalarning ildizlarini bildiradi.
Agar w0, w2, w4…tenglamaning ildizlari w1, w3, w5….esa (a) tenglamaning ildizlari bo’lib, shu bilan birga w0< w2< w4 va
w1< w3< w5 bo’lsa, u sistema turg’un bo’lishi uchun
w0< w1< w2 tengsizlik bajarilishi kerak.