Tushunchasiga keltiriladigan

4-Teorema. Agar (𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning Ω = ^{(𝑥, 𝑦, 𝑧⁾ ∈ 𝑹³: ⁽𝑥, 𝑦⁾ ∈
𝐷, 𝜑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤𝜓(𝑥, 𝑦) soha bo‘yicha uch o‘lchovli integrali mavjud va har bir
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 nuqta uchun
𝜓(𝑥,𝑦)

𝐼 = ∫
𝜑(𝑥,𝑦)
aniq integral mavjud bo‘lsa, u holda
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

𝜓(𝑥,𝑦)
∬𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 (14)

𝐷
takroriy integral ham mavjud va
𝜑(𝑥,𝑦)

𝜓(𝑥,𝑦)
∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬𝑑𝑥𝑑𝑦 ∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 (15)

Ω
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
𝐷 ^{𝜑(𝑥,𝑦)}

Mulohaza. Agar 4-Teoremadagi 𝐼 integral uchun 1-Teoremaning shartlari o‘rinli bo‘lsa, uni dastlab 𝑦 bo‘yicha, so‘ngra 𝑥 bo‘yicha olinadigan takroriy integral ko‘rinishida tasvirlash mumkin bo‘ladi. Bu holda (26) tenglik

_𝑏 𝑦₂(𝑥)
𝜓(𝑥,𝑦)

∭ 𝑓⁽𝑥, 𝑦, 𝑧⁾𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫
𝑑𝑦 ∫
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 (16)

Ω
ko‘rinishni oladi.
𝑎 𝑦₁(𝑥)
𝜑(𝑥,𝑦)

Agar Ω fazoviy soha 𝑂𝑦 o‘qi yoki 𝑂𝑥 o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha bo‘lsa, (16) formulada 𝑥, 𝑦, 𝑧 o‘zgaruvchilarning o‘rni almashtirilib, uch o‘lchovli integralni boshqa tartibdagi takroriy integralga keltirish mumkin.
Mulohaza. Agar Ω fazoviy soha hech bir koordinata o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri bo‘lmasa, bu sohani har biri hech bo‘lmasa bitta o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri bo‘ladigan qismlarga ajratish kerak. So‘ngra har bir bo‘lakka 3-Teoremani qo‘llab integral hisoblanadi va hisoblangan integrallarning yig‘indisi berilgan uch o‘lchovli integralning qiymatini beradi.