Tushunchasiga keltiriladigan

Reja

1. 
   Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga keltiriladigan masala.
   
2. 
   Ikki o‘lchovli integral.
   
3. 
   Ikki o‘lchovli integralni hisoblash.
   
4. 
   Ikki o‘lchovli integralning tadbiqlari.
   
5. 
   Uch o‘lchovli integral va uning xossalari.
   
6. 
   Uch o‘lchovli integralni hisoblash.
   

Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga keltiriladigan masala. Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash masalasi aniq integral tushunchasiga olib kelgan edi. Ikki o‘lchovli integral tushunchasiga silindrik jismning hajmini hisoblash masalasini yechish orqali kelamiz.


_𝐷

𝐷_𝑖

1. 
   rasm
   

2. 
   rasm
   

^𝑂 3-rasm 𝑥

𝑂𝑥𝑦𝑧 to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida quyidan 𝑂𝑥𝑦 tekislikning 𝐷 yopiq sohasi bilan, yon tomonlardan 𝑂𝑧 o‘qiga parallel silindrik sirt bilan va yuqoridan
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tenglama bilan aniqlanuvchi sirt bilan chegaralangan 𝑄 jismni qaraymiz (1-rasm). Bu yerda (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 nuqtalarda 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya nomanfiy qiymatlarni qabul qiladi deb faraz qilamiz. Bunday tasvirlangan 𝑉 jismni silindrik jism, 𝑥 va 𝑦 o‘zgaruvchilarning 𝐷 o‘zgarish sohasi esa silindrik jismning asosi deb ataladi.
Qaralayotgan 𝑄 jismning 𝑉 hajmini topish uchun uning 𝐷 asosini ixtiyoriy chiziqlar bilan o‘zaro kesishmaydigan 𝑛 ta 𝐷_𝑖 qismiy sohalarga ajratamiz. U holda 𝑄 jismni asoslari 𝐷_𝑖
sohalardan iborat bo‘lgan 𝑛 ta 𝑄_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅ silindrik ustunning yig‘indisi deb qarash
mumkin. Har bir qismiy sohada birorta 𝑃_𝑖⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾ ∈ 𝐷_𝑖 nuqtani tanlaymiz (2-rasm). Agar har bir silindrik ustunni balandligi 𝑓⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾ bo‘lgan to‘g‘ri silindr bilan almashtirsak, 𝑄_𝑖 ustunning ∆𝑉_𝑖 hajmi taqriban 𝑓⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾∆𝑆_𝑖 ko‘paytmaga teng bo‘ladi, bu yerda ∆𝑆_𝑖 qismiy 𝐷_𝑖 sohaning yuzi. U holda 𝑄 jismning yuzi taqriban
𝑛 𝑛
𝑉 ≈ ∑ ∆𝑉_𝑖 = ∑ 𝑓⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾∆𝑆_𝑖 (1)
𝑖=1 𝑖=1

yig‘indiga teng bo‘ladi.
Bu munosabatning aniqligini oshirish uchun 𝐷_𝑖 qismiy sohalarning sonini oshirish hisobiga ularning o‘lchamlarini kamaytirish kerakligi ravshan. Hajmning 𝑉 aniq qiymati sifatida (1) yig‘indining 𝐷_𝑖, 𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅ to‘plamlar eng katta 𝑑 diametrining nolga intilgandagi limitini olish kerak:

𝑉 = lim
𝑛
∑ ∆𝑉_𝑖 = lim
𝑛
∑ ⁽𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖⁾∆𝑆_𝑖 (2)

𝑛→∞_𝑖=1 𝑛→∞_𝑖=1