U (t)% 3D ( 72 (0) yo'lini ko'rib chiqing. 6-da ko'paytirishning uzluksizligi tufayli yo'l uzluksiz va aniqki, birlikni d1 elementi bilan bog'laydi. 92- keling, har qanday kishi uchun buni isbotlaylik
Download 46.5 Kb.
|
Dif giom óz
|
4.3.2. Matritsani o'zgartirish guruhlari Barcha tahlil qilingan misollar nafaqat topologik bo'shliqlar, balki silliq manifoldlar ham bo'lib chiqdi. Transformatsiya guruhidagi topologiya uni matritsa guruhiga kiritilishi bilan yuzaga keldi, unda topologiya odatiy tarzda aniqlanadi: matritsalar elementar tomonga yaqin bo'lsa, yaqin bo'ladi. Shunday qilib, silliq manifoldlar sinfi paydo bo'ldi, ularning nuqtalari ko'paytirilishi mumkin va ko'paytirish guruhning barcha aksiomalarini qondiradi. Ta'rif 3. M "silliq kollektor, agar ikkita silliq xarita berilgan bo'lsa, Lie guruhi deb ataladi, f: M" x M "- + m" (ko'paytirish) va u: M "- M" (teskari elementni olgan holda) , odatda quyidagicha belgilanadi: f (g, y)% 3Du -y, u (t)% 3 t-1; Bundan tashqari, f, v xaritalashlari bilan birgalikda munosabatlarni qondiradigan e EM "(birlik) belgilangan nuqta mavjud: Ba'zan faqat f operatsiyalarining davomiyligi talab qilinadi va shu bilan birga biz misollarda. ish olib boradi, guruh operatsiyalari silliq bo'ladi va shuning uchun biz Lie guruhining ta'rifiga aniq va silliq xaritalashlarni kiritdik. 4-ta'rif. L guruhining uzluksiz yo'l bilan bog'lanishi mumkin bo'lgan g elementlari to'plami. 8-guruhning o'ziga xosligi bilan b guruhi identifikatsiyasining bog'langan komponenti deb nomlanadi va b bilan belgilanadi .. Taklif 2. B to'plami 8-ning kichik guruhidir. Bundan tashqari, b-bu 8/60-sonli guruhdir. d1, 92 € Bo. d1 xx 92 € Bo ekanligini isbotlaylik. v ning ta'rifi bo'yicha Yi (1) va y2 (0) uzluksiz yo'llar mavjud bo'lib, normal bo'luvchi 6 ga teng, shuning uchun U (t)% 3D (() 72 (0) yo'lini ko'rib chiqing. 6-da ko'paytirishning uzluksizligi tufayli yo'l uzluksiz va aniqki, birlikni d1 elementi bilan bog'laydi.92- Keling, har qanday kishi uchun buni isbotlaylik. d € Bo va istalgan d E element ddo x xg bo-ga tegishli - € dan boshlab, y (0)% 3D e, y (1)% 3D 9- o'ylab ko'radigan y (t) yo'l bor. yo'l F (t)% 3D 9y () 9-1, u uzluksiz va φ (0)% 3D e; p (1)% 3D 9909, ya'ni 9x Matritsa guruhlarining asosiy misollarini ko'rib chiqing, ularning barchasi Lie 4.3.3. To'liq chiziqli guruh R "fazoni va $ R $ ning barcha noaniq chiziqli bir hil transformatsiyalarining GL (n, R) to'plamini, ya'ni nxn-ning barcha noaniq matritsalarning haqiqiy koeffitsientlar to'plami.GL (n, C) Lemma 9. GL (n, R) va GL (n, C) to'plamlari Lie guruhlari.Isbot .GL (n, R) ni aniqlik uchun ko'rib chiqing. Bu ko'rinadigan haqiqat. (N, R) silliq manifoldning tuzilishi, shunda barcha guruhlar operatsiyalar silliq bo'ladi. GL (n, R) aniq:% 3D R "* \ {det (g) 3D0}, bu erda R" bo'shliq R satridagi barcha tartibli matritsalarning bo'sh joyi bilan aniqlanadi. (g)% 3D0 polinom, u holda R "\ {det (g)% 3D 0} to'plami ochiq, ya'ni u domen va shuning uchun nn * o'lchamdagi silliq manifold. Matritsaning har bir elementini ko'paytirish matritsa AB - bu A va B matritsalar elementlaridagi ikkinchi darajali polinom, A-1 teskari matritsaning har bir elementi A matritsa elementlarining ratsional funktsiyasidir (A ning noaniqligi sababli nolga teng bo'lmagan qism bilan .) Xuddi shu tarzda, GL (n, C) Lie guruhi ekanligi isbotlangan. Algebraik ma'noda), yumshoq ish, chunki 4.3.4 Maxsus chiziqli guruh SL (n, R) guruhi quyidagicha aniqlanadi det (g)% 3D1 tenglamasi bilan berilgan GL (n, R) dagi to'plam.Shubhasiz, bu to'plam bir guruh va topologik bo'shliqdir.Haqiqatdan SL (n, R) silliq ko'p qirrali, ammo biz bunday qilmaymiz SL (n, C) guruhi kichik guruh sifatida belgilangan det (g)% 3D munosabatni qondiradigan GL (n, C) da na 1. SL (n, R) ning o'lchami n ga teng? 1, va SL (n, C) ning o'lchami 2n2 - 2. 4.3.5. Ortogonal guruh R "ni bilinar-bilinmas evklid shakli (a, b) EL a'b bilan ko'rib chiqing. O (n, R) guruhi bu skaler mahsulotni saqlovchi n tartibli haqiqiy A matritsalar guruhi sifatida aniqlanadi, ya'ni (Aa , Ab)% 3D (a, b) har qanday a, b € R uchun ". Odatda O (n, R) guruhi O (n) bilan belgilanadi. O (n, C) guruhi xuddi shunday aniqlanadi. O (n) guruhida SO (n) bilan belgilangan va maxsus ortogonal guruh deb nomlangan kichik guruh mavjud: 9E SO (n) agar det (g) - 1. Lemma 10. SO (n) guruh yo'l bilan bog'langan va bir-biriga to'g'ri keladi O (n) guruhidagi bog'langan komponent birliklari bilan. O (n) / SO (n) miqdor guruhi Zz uchun izomorf, ya'ni O (n) ikkita bog'langan komponentdan iborat. Dalillar. Algebra kursidan ma'lumki, € SO (n) gacha bo'lgan har qanday element uchun d € O (n) ning ortogonal o'zgarishi mavjud, chunki% 3D 9909, agar n% 3D2k bo'lsa ham, bu matritsaning shakli - sin oi cos p1 va agar n% 3D 2k + 1 g'alati bo'lsa, u holda yuqoridagi matritsaga yana bitta diagonali blok qo'shiladi (kattaligi 1 dan 1 gacha), unda bitta mavjud. Birlik bilan bog'langan uzluksiz y (e) yo'li blok diagonal matritsasidagi barcha burchak argumentlarini t parametri bilan ko'paytirish orqali olinadi. Shunday qilib SO (n) 3 0 (n) o. Determinant -1 ga ega bo'lgan ortogonal matritsalar to'plami SO (n) ga qadar gomomorf bo'lganligi sababli, lemma isbotlangan. O (n) ni AAT% 3DE tenglamalar tizimi tomonidan aniqlangan R "" ning kichik to'plami sifatida ko'rsatish qulay. Bu erda RT * n-tartibli matritsalarning chiziqli fazosi bo'lib, unda (A, B)% 3Dtr AB "shaklini ko'rib chiqing. Biz evklid skaler mahsulotini quyidagi vektorlardan tashkil topgan holda olamiz: eig (bunday elementlarning barcha elementlari matritsa nolga teng, faqat bitta bitta, biriga teng va i-qatorda va ustun-ustunda joylashgan). Agar aniq narsa skalar evklid mahsulotiga to'g'ri kelsa. A E 3D matritsasini A% 3D Lij a vektori bilan aniqlash; eeij, uning uzunligini hisoblashingiz mumkin va || A |? % 3D tr AA '. C Binobarin, A € O (n) uchun bizda: | A || % 3D vn, ya'ni O (n) standart radiusda yotadi yn. 4.3.6. Unitar guruh va maxsus unitar guruh, koordinatalari 2 ',, 2 "bo'lgan murakkab kosmik maydonni va A (b) 3 Reli (? A'x x v) bilearli kompleks qiymatga ega L a shakli bilan bog'liq bo'lgan Ermitar skalar mahsulotini ko'rib chiqing. "b". U (n) bilan biz C "dagi barcha chiziqli operatorlar guruhini kelib chiqishini va bu skaler mahsulotni saqlaymiz, ya'ni n tartibidagi barcha murakkab qiymatli A matritsalar guruhini (a, b)% 3D ( Aa, Ab) har qanday a, b E C uchun ". Ushbu shart AA% 3D E matritsa tenglamasiga teng, bu erda bar murakkab konjugatsiyani bildiradi. Agar g € U (n) bo'lsa, u holda det (g) = e * °. Biz SU (n) ni U (n) ning kichik guruhi sifatida aniqlaymiz, det (g)% 3D 1. Lemma 11. U (n) va SU (n) guruhlari yo'l bilan bog'langan. Dalillar. SU (n) ni ko'rib chiqing. Algebra kursidan ma'lumki, har qanday € SU (n) gacha bo'lgan davrda g € U (n) birlik o'zgarishi mavjud, shunday qilib% 39909 nsa ept, 1 Rm * ni ikki qismga ajratadi. Yagona bo'lmagan nuqtalarning har qanday juftligini ma'lum bir to'plamni "aylanib o'tadigan" yo'l bilan bog'lash mumkin. Biz U (n) ni haqiqiy qiymatli mahsulotni (a, b)% 3D Re atb * saqlaydigan matritsalar guruhi sifatida aniqladik. Shu bilan birga, Cm bir-biriga bog'langan bilinear kompleksli qiymatga ega a * b shaklga ega va shuning uchun ushbu shaklni saqlaydigan O (m) matritsalar guruhi tabiiy ravishda paydo bo'ladi, ya'ni har qanday Lemma 13 uchun (Ba, Bb)% 3D (a, b) U (n) guruhi va U (n) guruhi bir-biriga to'g'ri keladi. Dalil to'g'ridan-to'g'ri va o'quvchiga qoldiriladi. Keling, C ni "R bilan" belgilaydigan reifikatsiya operatsiyasini aniqlaylik. C "da bir germit asosini tanlaymiz, gonal ((,,)) vektorlari e1. Keyin har qanday r ∈ C" uchun r% 3D + Ey (ya'ni) parchalanishi paydo bo'ladi, bu erda 2 *% 3 * + iy, ya'ni C "R. bilan aniqlanadi. Xaritalash D: C" + R ", formulada berilgan (x)% 3D (z ', ...,"%; Bu', ..., y "), reifikatsiya C "deb nomlangan. S-dagi Hermit skalyar mahsuloti "Evklid skalar mahsuloti R ga qayta qo'shilgandan keyin" o'tishini tekshirish oson. Rda "murakkab tuzilmani" belgilash nimani anglatadi? Reifikatsiyani ko'rib chiqing φ: S "R"%; B keyin R2n RN @iR "3D C" Shunday qilib, Rm da A (x) 3D chiziqli operator paydo bo'ladi Ix. Shubhasiz, A? 3 - E va A (iek)% 3- ep, ya'ni ortobazda (e ,,, e; ya'ni, ya'ni) A matritsasi ..., en. orto-va A € SO (2m) ta'rifi 5. A? - -E R2n da murakkab tuzilmani aniqlaydigan AE SO (2n) ortogonal operatori deymiz, R2n da murakkab tuzilmani aniqlaymiz Bunday operatorni kamaytirish mumkin asosning ortogonal aylanishi bilan shakl. e,.% 3D t; A (tx)% 3D -p. e1, e, R "{ek) bo'shliqqa cho'zilib, biz R2m% 3D RT (ek } @R "{t *}. Shuning uchun har qanday - a € R" jangida 3 x + iy shaklidagi bitta yozuv mavjud bo'ladi, bu erda x, y € R "{ek}. A?% 3-E dan beri, biz C "ni olamiz, barcha {ek}., en; ti, ..., tn vektorlarning barcha chiziqli kombinatsiyalari A (ex)% 3 ni hisobga oladigan F reifikatsiya qilinganida unitar guruhga nima bo'ladi? A € U (n) operatori Ermit shaklini saqlaganligi sababli, reififikatsiyadan so'ng u R "da harakat qiladigan va Evklid formasini saqlab qolgan φA operatoriga aylanadi, ya'ni O (2m) guruhining elementiga aylanadi. 3-taklif. Monomorfizm M: U (m) + Demak (2n), reififikatsiyadan φ: St R "kelib chiqqan holda, quyidagicha yoziladi: bu erda C va B haqiqiydir. Bundan tashqari, isbot. E ,, er ,, e, C da asos bo'lsin. Keyin (C + iB) ek% 3D Cc + B (iek), (C + iB) (ya'ni,) - -Bex + C (iek) , ya'ni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash det (o (A))% 3DI det Al?, ya'ni det (p (A))> 0 ekanligini ko'rsatadi. Bundan tashqari, φ (A) € e (U (n Keyin, yoqilsin) bir tomondan, e (A) € E SO (2n), ikkinchidan, φ (A) murakkab noaniq operatorni amalga oshirish orqali olinadi; shuning uchun: φ (U (n)) cso (2n) n aksincha, 9E SO (2n) va d E Φ (GL (n, C)) .Bu shuni anglatadiki, c -c, ya'ni gE U (U (n)), ya'ni q quyidagi shaklga ega: 4.3.7. ixcham va simpektik ixcham guruhlar Agar chiziqli bo'shliqda simmetrik nondenserat bo'lmagan skaler mahsulot (,) berilgan bo'lsa, ya'ni (a, b)% 3D 3 - (b, chiziqli bo'shliqda L "chiziqli struktura deyiladi. a) har qanday juft vektor uchun u (a, b)% 3D0 har qanday a uchun bo'lsa va faqat b% 3D bo'lsa 0. Agar shunday tuzilishga ega L "bo'shliq simpektik deyiladi. Evklidda simpektik bo'shliqni simulyatsiya qilish qulay R ", chiziqli transformatsiya simpleti o'zida joylashgan bo'shliq, agar u simpektik tuzilishini saqlab qolsa, simpektik deb ataladi. 6-1916 yillarni tark etgan barcha simpektik o'zgarishlarning to'plami kelib chiqishi o'rniga haqiqiy simpektik (ixcham bo'lmagan) guruh deyiladi va Sp (n, R) bilan belgilanadi. Chiziqli simpektik transformatsiyaning determinanti biriga teng ekanligini isbotlang. Sp (n) ixcham guruh kvaternion algebra Q yordamida aniqlanadi. Har qanday d € R 'vektor d 3 a ° .1 + a? .I + + a? Deb yoziladi. -j + a3- k, bu erda a °, a ', a?, a3 ER. Ko'paytirishni R 'ga 1, i, j, k asosida belgilab, so'ngra barcha vektorlarga chiziqlilik bo'yicha davom ettirish orqali aniqlaymiz. Jadval 1 1 | 1 -1 shakliga ega, $ R $ ustida to'rt o'lchovli algebra paydo bo'ladi, assotsiativ, ammo komutativ emas. U Q kvaternion algebrasi deb ataladi. BQ konjugatsiyaga ega va teskari elementni oladi q-1-q / g?, Qaerda | g? - 9d - L (a ') 2. Q haqiqiy baholangan skalar mahsulotiga ega (gi, 92)% 3D% 3D Re (q1 -q2). Bu erda q1 -92, Qdagi hosilani bildiradi. Q elementlari kvaternionlar deyiladi. % 3D 0 bo'lgan kvaternionlar xayoliy deyiladi; a ° koordinatasi (yuqoriga qarang) Re (q) bilan belgilanadi. Shunday qilib d% 3D Re (q) + Im (q). N "o'lchovli kvaternionik fazani ko'rib chiqaylik", asosi e, ..., el, ya'ni har qanday vektor a € Q "a deb yozilgan. Ta'rif 6. Sp (n) ixcham simpektik guruhi barcha chiziqli to'plamdir quaternionic transformations Q "0 nuqtasini saqlab, quyidagi skalyar mahsulotni Q" invariantiga qoldirib: Q bo'shliq "C" bilan kanonik ravishda aniqlanadi. η% 3D 13B, keyin Q3 Q ni qo'ying. q3 a ° .1 + a'.i bo'lsin + a? .j + a3 x x k. Keyin aniq q% 3D (a ° + a'.i) + j (a? - a'i) 3 21 + j2?, bu erda murakkab sonlar. Q "dagi har bir kvaternion koordinatasi uchun operatsiya, biz Q" Cm identifikatsiyasini olamiz. Murakkab holatda bo'lgani kabi, Sp (n) bilan bir qatorda kvaternion tomonidan baholanadigan shaklning o'zgarmasligi guruhi aniqlandi. a, b) Sp (n) ... guruhiga to'g'ri keladi. Dalilni o'quvchiga qoldiramiz. Q "C" bilan aniqlanganda kvaternion qiymatidagi shakl (a, b) nima bo'ladi? N% 3D 1 qo'ying, so'ngra a -b— (p + jq) (c + jd)% 3D (pc + qd) + (-pd + qc) j. Biz jd 3D 9), ј2% 3D-1, a-6 3 -b-a nisbatlarini qo'lladik (tekshiring!). Ixtiyoriy n uchun (a, b) shakli (a,) pm 3D (p * + d) formasi Hermitian shakli bilan C "ga to'g'ri kelishi va (a, ) kcm 3D C- (c - ptdt) nosimmetrik, ya'ni (a, b) ksm - (b, a) ksm. Agar A: Q "Q" operatori (a, b) kt ni saqlasa, u holda Q "ni Cm bilan aniqlagandan so'ng, u allaqachon ikkita shaklni saqlaydi: (a, b) erm va (a, b) ksm. Operatorning (a, b) pm ni saqlab qolishi uning unitar operatorga aylanishini anglatadi. Biz Sp (n) ni U (2n) ga Cm-da nosimmetrik shaklni (a, b) kcm saqlaydigan kichik guruh sifatida kiritish mumkinligini isbotladik 4. Taklif 4. GL (n, R), GL (n) , C), SL (n, S), SL (n, R), Sp (n, R) ixcham emas; U (n), SU (n), O (n), SO (n), Sp (n) guruhlari ixchamdir. Dalil yuqorida ko'rsatilgan sxema bo'yicha amalga oshiriladi. Shuni e'tiborga olingki, biz "Lie" guruhlarining ro'yxatini hech qachon tugatmaganmiz. Kichik o'lchamdagi ba'zi Lie guruhlarini ko'rib chiqing. SO (2) guruhi aylana uchun gomomorf ekanligini ko'rdik; SO (3) R.PS uchun gomomorfdir. U (1) St. Sp (1) va SU (2) guruhlarini o'rganamiz. Taklif 5. SU (2) va Sp (1) guruhlari izomorfik (algebraik ma'noda) va ikkalasi ham S8 sharga homomorfdir. SO (3) guruhi E, - E. elementlaridan tashkil topgan Z2 kichik guruhi tomonidan SU (2) guruhidir. Sp (1) guruhi Q% 3DQ da kvaternionni ko'paytirish vazifasini bajaradi, ya'ni har bir A € Sp (1) quyidagi shaklga ega: Aq% 3 3D q- a, bu erda a - belgilangan kvaternion. (Q, 92) kit% 3D 9 42 A ta'sirida saqlanib qolganligi sababli q142% 3D qidafa 3Dlaq-F2- Demak | a | 3D 1. | a] - b 3 [a Y (tekshiring!), Keyin Sp (1) kvaternionlar guruhi uchun izomorfikdir, shunday qilib ja |% 3D 1. Bunday kvaternionlar S8 sharni tashkil etishi aniq. Sp (1) ning SU (2) ga izomorf ekanligini isbotlaylik. Sp (1) - U (2) joylashtirilishini ko'rib chiqing (yuqoriga qarang). N 3D 1 dan boshlab, pp + dd 3D 1 shakli mavjud, bu to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali tasdiqlanadi. Shunday qilib, Sp (1) U (2) unimodular kichik guruhga izomorf bo'lib, uning o'lchami 3. SU (2) ham uch o'lchovli bo'lgani uchun, Sp (1) va SU (2) izomorfdir. Yadro bilan Z2 ga izomorf bo'lgan f: SU (2) SO (3) epimorfizmi mavjudligini isbotlaylik. Biz SU (2) ni birlik kvaternionlar guruhi sifatida tushunamiz. Biz f (a) 3 adӑ qo'yamiz, bu erda | a | % 3D1 va Re (q)% 3D 0, ya'ni. q - R € ortogonalini 1 € Q gacha tashkil etuvchi xayoliy kvaternionlar. Keyin f (g - a2)% 3D aja2X x qadaj% 3D / (a) f (a) bo'lgani uchun gomomorfizmdir. O'zgarish f (a) o'zini R3 ga aylantiradi (xayoliy kvaternionlar) va izometriyadir, chunki Re (aqdax x fa)% 3D Re (agifra)% 3D Re (q142). Shunday qilib, f (a) e SO (3) (S ulanganligi sababli f (S °) tasvir SO (3) da yotadi). F yadrosini topamiz. Agar hamma xayoliy q uchun adӑ 3D q bo'lsa, unda ad% 3D q ha, | a | % 3D 1, ya'ni% 3D + 1, chunki a-ni barcha xayoliy kvaternionlar bilan almashtirish a ning xayoliy qismi nolga tengligini anglatadi. Ker (f) 3D Z2% 3D (E, - E), keyin xiralashgan (S3 / Z2) - 3 va dim SO (3)% 3D% 3D 3 bo'lgani uchun, u f epimorfizmdir. SO (3) S / Z2 ning R.PS ning koeffitsienti sifatida ifodalanishiga mos kelishi: S $ / Z2, bu erda Zz S% da -1 ga ko'paytiruvchi vektor sifatida ishlaydi. Download 46.5 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|