Uch karrali integrallar

aylanma jismdan iboratgina bo`lsa, u holda

bo`ladi va formula ushbu ko`rinishni oladi:

Bu ma`lum Gul’din teoremasini ifodalaydi: tekis shaklning u bilan kesishmaydigan o`q atrofida aylanishidan hosil bo`lgan aylanma jismning hajmi bu shakl yuzi bilan uning og`irlik markazi chizgan aylana uzunligining ko`paytmasiga teng. Shunday qilib, Kuskov formulasi bu klassik teoremaning tabiiy umumlashtirilishidir va, aksincha, bu teoremadan osongina keltirib chiqariladi.
Fazodagi (massasi 1 bo`lgan) ixtiyoriy nuqtaning zichligi bo`lgan
bir jinsli sfera tomonidan tortilish kuchi topilsin.
Sfera radiusi masofa ga teng bo`lsin. Koordinata o`qlarini shunday joylashtiramizki, nuqta o`qining musbat tomonida bo`lsin. U holda

Sferik koordinatalarga o`tsak:

ekanligini topamiz.
Biz yuqorida sferik qaylamning tortish kuchini aniqlashda ushbu ikki karrali integral qiymatini topgan edik:

Shunga ko`ra, bo`lsa-

va, agar bo`lsa
Ayni paytda, ravshanki, Demak, har ikkala holda ham tortish kuchi sfera markaziga yo`nalgan bo`ladi.
Bunda sferadan tashqaridagi nuqtaning bu sferik tomonidan tortilish kuchi, sferaning hamma massasi uning markaziga joylashgandagi tortilish kuchiga teng. Ikkinchi tomondan sfera ichidagi nuqtaning tortilish kuchi ga bog`liq bo`lmagani va holdagi qiymatga teng bo`lganligi uchun, ravshanki, tashqi sferik qatlam ichki nuqtaga hech qanday ta`sir o`tkazmaydi.
Ta`kidlab o`tish kerakki, (tortiluvchi nuqta sferadan tashqarida yotgan hol) bo`lganida integral ostidagi funksiya uzluksizligini saqlaydi va yuqoridagi amallarga izohning hojati yo`q. ( nuqta sfera ichida yoki uning sirtida) bo`lganda ahvol boshqacha. Bu holda shu nuqta atrofida integral ostidagi funksiya chegaralangan bo`lmay qoladi va integralni xosmas integral sifatida tushunish kerak bo`ladi. O`zgaruvchilar almashtirilgach, maxsuslik yo`qoladi; mana shu holat integral mavjudligini va barcha bajarilgan amallar asosli ekanini ko`rsatish imkonini beradi.


Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   T. Azlarov, H. Mansurov – “ Matematik analiz ” .
   
2. 
   Yo. U. Soatov – “ Oliy matematika “.
   
3. 
   Internetdan: Google.uz, ziyonet.uz