Uch karrali integrallar

Ostrogradskiy formulasining tatbiqiga doir ba`zi misollar.
1) Jism hajmini sirt integrallari orqali ifoalash. (4*) formulada ham funksiyalarni turli usullar bilan shunday tanlab olish mumkinki, uch karrli integralningintegral osti ifodasi 1 ga teng bo`ladi, ya`ni integral jismning hajmi ni ifodalaydi. Shunday qilib, jismning hajmi uni chegaralovchi sirt bo`yicha olingan sirt integrali orqali ifodalanadi. Shuning uchun (4*) da birin – ketin
deb hisoblab, ushbu formulalarga ega bo`lamiz:
(6*) bunda hamma integrallar sirtning tashqi tomoni bo`yicha olingan. Agar

bo`lsa, yanada simmetrik va qulay bo`lgan

yoki birinchi tur integrallarga o`tilsa

formulalar hosil bo`ladi (bu yerda lar sirtga tashqi normal ning yo`naltiruvchi kosinularidir).
Bu formulani yana quyidagicha yozish mumkin: koordinata boshini sirtning ixtiyoriy nuqtasi bilan birlashtiruvchi vektorni olaylik. Uning koordinata o`qlariga proyeksiyalari bo`lsa, qavs ichidagi ifodani

deb yoza olamiz,u holda,

bo`ladi. Ana shu ko`rinishdagi bu natija 1813 yildayoq Gauss tomonidan keltirilgan.
2) Qattiq yopiq sirtning muvozanati. Qattiq yopiq sirtga har tomonlama bir xil bosim bilan ta`sir etilsa, u o`z muvozanat holatida qoladi. Shuni isbotlaylik.
Shu maqsadda sirtga ta`sir etuvchi barcha kuchlar sistemasining bosh vektori va (biror nuqtaga nisbatan) bosh momenti nolga teng ekanini ko`rsataylik.
Sirtning elementini olamiz. Bosimni, yana yuz birligiga ta`sir etayotgan kuchni deb olsak, ga uning normali bo`ylab ta`sir etayotgan elementar kuchning o`qlariga proyeksiyalari
(7*) bo`ladi (bosim sirt ichiga qarab yo`nalganligi sababli minus ishora qo`yilgan, lar esa tashqi normalning koordinata o`qlari bilan tashkil qilgan burchaklaridir).
Bosh vektorning proyeksiyalari, (7*) elementar kuchlar proyeksiyalarini jamlash bilan hosil qilinadi:

Ostrogradskiy formulasida

deb olsak, bu integrallarning hammasi nolga teng ekanligini ko`ramiz. Shunday qilib, bosimlar bosh vektori nolga teng.
Elementar kuchlar sistemasining bosh momentini, masalan, koordinata boshiga nisbatan bosh momentini aniqlash uhcun bu elementar kuchlar momentlarining o`qlarga proyeksiyalari

larni jamlaymiz.
Binobarin, bosimlarning koordinata boshiga nisbatan bosh momenti proyeksiyalari

dan iborat bo`ladi.
Ostrogradskiy formulasida deb olsak, ga ega bo`lamiz. Shu singari ekanligini ham hosil qilish oson. Koordinata boshiga nisbatan bosimlar bosh momenti nolga teng. Shu bilan isbot tugallanadi.
3) Arximed qonuni. Ma`lumki, suyuqlikning unga botirilgan yuzchaga bosimi shu yuzchaga normal yo`nalishi bo`ylab yo`nalgan va miqdor jihatdanasosi shu yuzchaga , balandligi esa uning botirilish chuqurligiga teng ustundagi suyuqlik og`irligiga barobar bo`ladi. Endi suyuqlikka qattiq jism botirilgan bo`lsin; uning sirtidagi har bir elementga yuqorida keltirilgan qonun bo`yicha suyuqlik ta`sir etadi. Elementar bosimlarning teng ta`sir etuvchisi va u qo`yilgan nuqta topilishi talab etiladi.
Masalani yechish uchun ushbu koordinata sistemasini tanlaymiz: tekislik suyuqlikning ustki, erkin sirti bilan ustma – ust tushsin va oqi quyi tomonga vertical yo`nalgan bo`lsin.
Suyuqlikning solishtirma og`irligi elementning botirilishi chuqurligi bo`lsin. Unda suyuqlikning bu elementga ko`rsatayotgan bosimi

uning o`qlarga proyeksiyasi esa

bo`ladi. U holda bosh vektorning o`qlarga proyeksiyalari uchun

formulalarni hosil qilamiz. Avvalgi masaladagidek Ostrogrdskiy formulasidan foydalanib,

ekanini toppish oson. Shunday qilib, bosimlar bosh vektori vertical ravishda yuqoriga yo`nalgan va jism siqib chiqargan suyuqlik miqdoriga teng bo`lgan og`irlikka ega.
Endi elmentar kuchlarning jismning og`irlik markazi ga (bu yerda va bundan buyon geometrik jismning – massa tekis taqsimlangandagi – og`irlik markazi ko`zda tutiladi; u fizik jismning og`irlik markazi bilan ustma – ust tushmasligi ham mumkin) nisbatan momentlarini ko`raylik. Ularning o`qlardagi tashkil etuvchilari

bosh momentning ( nuqtaga nisbatan) tashkil etuvchilari esa

bo`ladi. Birinchi integralga Ostrogradskiy formulasini tatbiq etib, ushbuga ega bo`lamiz:

chunki integral jismning tekisligiga nisbatan statik momenti bo`lib, ga teng. tenglik ham shu singari isbotlanadi; nihoyat, bevosita hisoblab, ni chiqaramiz.
Shunday qilib, jismning og`irlik markaziga nisbatan bosimlar bosh momenti nolga teng. Bu natijani yuqorida bosh vektor to`g`risida isbotlangan natija bilan solishtirib quyidagi hulosaga kelamiz: suyuqlik, unga botirilgan jismga, jism siqib chiqargan suyuqlik og`irligiga teng bo`lgan kuch bilan ta`sir qiladi; bu kuch (geometrik) jism og`irlik markaziga qo`yilgan va vertikal ravishda yuqoriga yo`nalgan bo`ladi.
4) Sirt integrallarini tekshirish. Uch o`lchovli fazoning biror ochiq sohada uzluksiz funksiyalar berilgan bo`lsin.shu sohada yotgan va biror jismni chegaralaydigan istalgan yopiq sirt olib, ushbu
(8*)
sirt integralini ko`raylik. Bu integral har doim istalgan bo`yicha nolga aylanishi uchun lar qanday shartlarga bo`ysunishi kerak?
Bu masala Grin yoki Stoks formulasi yordamida osongina hal bo`lgan yopiq kontur bo`yicha olingan egri chiziqli integralning nolga aylanishi masalasiga o`xshashdir. Bu yerda biz Ostrogradskiy formulasiga murojaat qilamiz va, tabiiyki, bu formula qatnashuvchi larning hosilalari mavjud va uzluksiz deb faraz qilamiz.
Bu holda ham, (8*) integralni Ostrogradskiy formulasi bo`yicha almashtirish huquqiga ega bo`lishi uchun, bevosita asosiy sohaga ma`lum shart qo`yish zarurdir. Aniqrog`i, ushbuni talab qilish kerak: agar faqat jismni chegaralovchi ixtiyoriy yopiq sirtgina sohaga tegishli bo`lsa, bu jism ham butunlay shu sohada bo`ladi. Shu sohaga ega bo`lgansohani (“ fazoviy ma`nosida “) bir bog`liqli deyiladi. Bunday bir bog`liqlikning mohiyati shundaki, sohada “teshiklar” hatto nuqtaviy “teshiklar” ham bo`lmasligi kerak; chegaralanmagan jism uchun to`g`ridan – to`g`ri uning chegarasi bittagina yopiq sirtdan iborat bo`lishini talab qilish mumkin edi.
Uch karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirish.