Uch karrali integrallar

Fazoviy sohalarni almashtirish.
To`g`ri burchakli koordinata sistemasi bilan bir fazo, boshqa koordinata sistemasi bilan ikkinchi bir fazo berilgan bo`lsin. Bu fazolarda ikkita va yopiq sohani qaraylik, quyida biz ularni hamma vaqt, mos ravishda, bo`lakli – silliq va sirtlar bilan chegaralangan deb olamiz. Bu sohalar orasida
(8) formulalar orqali bajariladigan o`zaro bir qiymatli uzluksiz moslik bo`lsin. Bu moslik natijasida sirtning nuqtalariga xuddi sirtning nuqtalari mos kelishi kerak va aksincha
sohada (8) funksiyalar uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo`lsinlar. U holda

funksional determinant ham da uzluksiz funksiya bo`ladi. Bu yerda ham bu determinant doim noldan farqli va o`z ishorasini saqlaydi deb hisoblaymiz.
Bu shartlarda (8) formulalar sohadagi bo`lakli – silliq sirtni dagi bo`lakli – silliq sirtga almashtiradi va aksincha.
fazoda nuqta holatini bir qiymatli aniqlaydigan sonlar bu nuqtaning egri chiziqli koordinatalari deyiladi.
fazoning koordinatalaridan biri o`zgarmay turgandagi nuqtalar koordinata sirtini tashkil qiladi. Hammasi bo`lib uchta bunday koordinata sirtlari oilasi mavjud bo`ladi. sohaning har bir nuqtasidan har qaysi oilaning bittadan sirti o`tadi.
Shuni ham aytish kerakki, bularning hammasi va sohalar orasida qat`iy o`zaro bir qiymatli moslik bo`lgandagina ma`noga ega bo`ladi. Amaliyotda bu bir qiymatlilik tez – tez buzilib turadi.
Hajmning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi
Yuqoridagi shartlar va belgilashlarda fazodagi (chegaralangan) jism hajmini fazodagi mos jism bo`yicha olingan uch karrali integral sifatida ifodalash masalasini qo`yaylik.
Bu hajm, avvalo sirtning tashqi tomoni bo`yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali

orqali ifodalanadi. Bundan odatdagi ikki karrali integralga o`xshatishga harakat qilaylik.
sirtning parametrik tenglamalari
(9)
ni olamiz; parametrlar tekislikning biror sohasida o`zgarsin. (8) almashtirish formulalarida larni ularning (9) ifodalari bilan almashtirib, ravshanki, sirtning parametrik tenglamalarini hosil qilamiz:

Agar
deb olsak,
(**)
formulaga binoan

bo`ladi.
larning larga bog`liqligi lar vositasida bo`lgani uchun funksional determinantlarning ma`lum xossasiga ko`ra,

ning bu ifodasini yuqorida hosil qilingan integralga qo`ysak,
(10)
ga ega bo`lamiz.
Bu integralni sirtning tashqi tomoni bo`yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali
(11) bilan solishtiraylik. Agar buni, (9) parametric tenglamalarga asoslanib, (**) formulaga o`xshash formula bo`yicha oddiy ikki karrali integralga keltirsak, xuddi (10) integralning o`zi hosil bo`ladi. Bu integrallar orasidagi yagona farq ularning ishoralarida bo`lishi mumkin , xolos.
Nihoyat, (10) integraldan, Ostrogradskiy formulasiga asoslanib, soha bo`yicha olingan uch karrali integralga o`tishimiz mumkin:

Integral ostidagi ifoda

ga tengdir. Bйrinchi qatordagi yig`indining

жunksional determinantga teng ekaniga, bu aniqlovchini oxirgi satr elementlari bo`yicha yoyib chiqib ishonch hosil qilish mumkin» kvadrat qavs ichidagi ifodaning nolga tengligini bevosita hisoblab chiqarish mumkin.
Ravshanki,

Bu tengliklarni hadma – had qo`shsak, o`ng tomonda aynan nol hosil bo`ladi.
Shunday qilib,

formulani hosil qilamiz. Shartga ko`ra, funksional determinant o`z ishorasini saqlar edi. Integral ham o`sha ishoraga ega bo`ladi. Demak, ravshanki (biz deb hisoblaganimiz uchun), integral oldidagi ishora determinant ishorasi bilan bir xil bo`lishi kerak. Shunga asosan, yuqoridagi natijani ushbu ko`rinishda yozish mumkin:
(12) yoki, funksional determinantni, qisqalik uchun orqali belgilasak:
(12*)
Odatda, integral ostidagi

ifodani egri chiziqli koordinatalarda ifodalangan hajm elementi deb ataydilar.
(12*) formulaga o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llanib,
(13) munosabatni hosil qilamiz; bu yerda sohaning biror nuqtasi va - shu sohaning hajmi.
(13) munosabatdan soha nuqtaga qisila borganda

Ekanligi osongina kelib chiqadi. Shunday qilib, funksional determinantning absalyut qiymati fazoni fazoga almashtirishdagi cho`zilish koeffitsenti ekan.
Izoh. (12) [(12*)] formula ma`lum shartlar: ya`ni va sohalar orasida o`zaro bir qiymatli va uzluksiz moslik va boshqa shartlarda isbot etiladi.
Geometrik isbot. Ostrogradiskiyga o`xshash, (12) formulaning isbotini sof geometric mulohazalar bilan qurish ham mumkin. fazodagi o`lchovlari bo`lgan cheksiz kichik to`g`ri burchakli parallelepipedga fazodagi va , va , va koordinata sirtlari orasidagi elementtar jism mos qo`yiladi. Uni taqriban qiyshiq burchakli parallelepiped deb qarash mumkin. Uning hajmi uchlari

nuqtalarda bo`lgan tetraedr hajmidan 6 marta katta bo`ladi analitik geometriyadagi ma`lum formulaga ko`ra (absolyut miqdori jihatidan) ushbu

Determinantga teng. Bu ayrim – ayrim “ hajm elementlarini “ jamlab, (12) formulani hosil qilamiz.
Shunday qilib, ishning mohiyati bu yerda ham, jism hajmini toppish uchun uni o`zaro perpendikulyar tekisliklar sistemasi bilan emas, balki koordinata sirtlari to`ri yordamida elementlarga ajratishdan iborat ekan.
Ba`zi bir soda hollarda egri chiziqli koordinatalarda “ hajm elementi “ uchun ifoda bevosita topilishi ham mumkin bo`ladi
Misol tariqasida slindrik koordinatalarni olaylik; fazodagi ikkita va radiusli slindrik sirtlar bilan ikkita va balandliklarda o`tkazilgan gorizantal tekisliklar bilan hamda o`qidan o`tuvchi va tekisligiga va burchaklar bilan oqqan ikkita yarim tekisliklar bilan chegaralangan elementar sohani ko`raylik. Bu sohani taqriban to`g`ri burchakli parallelepiped deb hisoblab, uning o`lchovlari va ekanini va, demak, hajmi ga tengligini topamiz. Determinant esa, bu hajmning fazodagi elementar parallelepiped hajmi ga bo`lgan nisbati kabi ifodalanganligi uchun ga teng bo`ladi.
Shu singari, sferik koordinatalar bo`lgan hol uchun ( fazodagi) va radiusli radiusli sferalar bilan, va kosinuslar bilan hamda va yarim tekisliklar bilan chegaralangan elementar sohani ko`raylik. Bu sohani ham taqriban o`lchovlari , va bo`lgan to`g`ri burchakli parallelepiped deb olish mumkin. yoy o`z proyeksiyasi ga tengligi va radiusi bo`lgan aylananing markaziy burchgiga mos kelgani uchun . Shunga ko`ra olingan soha hajmi , funksional determinant esa ga teng bo`ladi.