Uch perpendikular haqidagi teorema va unga teskari teorema. Masalalar yechish O’ibdo’: A. Bayturayev 1-teorema

Sinf: 10-A
Sana: 25.01.23
Mavzu:Uch perpendikular haqidagi teorema va unga teskari teorema. Masalalar yechish
O’IBDO’: A.Bayturayev
1-teorema
Agar tekislikka tushirilgan og‘maning asosidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq og‘maning proyeksiyasiga perpendikulyar bo‘lsa, u holda u og‘maning o‘ziga ham perpendikulyar bo‘ladi.
1-teoremaning isboti
Aytaylik, kesma tekislikka tushirilgan perpendikulyar, kesma esa og‘ma bo‘lsin. to‘g‘ri chiziq tekislikda yotuvchi, nuqtadan o‘tuvchi va og‘ma proyeksiyasiga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziq bo‘lsin.
ga parallel to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo‘ladi.
1-teoremaning isboti
va to‘g‘ri chiziqlar orqali tekislikni o‘tkazamiz.
to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘ladi. U shartga ko‘ra, to‘g‘ri chiziqqa ham perpendikulyar edi. Unda to‘g‘ri chiziq tekislikka ham perpendikulyar bo‘ladi.
Demak, to‘g‘ri chiziq tekislikda yotgan og‘maga ham perpendikulyar bo‘ladi.
2-teorema
Agar tekislikka tushirilgan og‘maning asosidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq og‘maga perpendikulyar bo‘lsa, u holda u og‘maning proyeksiyasiga ham perpendikulyar bo‘ladi.
1-masala
Uchburchakka ichki chizilgan aylana markazidan uchburchak tekisligiga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq o‘tkazilgan. Bu to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi uchburchak tomonlaridan baravar uzoqlikda yotishini isbotlang.
1-masalaning yechimi
Aytaylik, uchburchak tomonlarining aylana bilan kesishish nuqtalari, aylana markazi, esa perpendikulyardagi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin.
uchburchak tomoniga perpendikulyar bo‘lgani uchun, uch perpendikulyarlar haqidagi teoremaga ko‘ra, ham bu tomonga perpendikulyar bo‘ladi. Unda to‘g‘ri burchakli uchburchak bo‘ladi.
Bu uchburchakda Pifagor teoremasiga ko‘ra,
bu yerda aylana radiusi.
Xuddi shunga o‘xshash, to‘g‘ri burchakli uchburchakdan va to‘g‘ri burchakli uchburchakdan esa ekanligini topamiz.
Demak,
1-masalaning yechimi
2-masala
uchburchak tekisligiga uning nuqtasidan perpendikulyar tushirilgan. Agar va ga teng bo‘lsa, nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani toping.
2-masalaning yechimi
Izlanayotgan masofa nuqtadan tomonga tushirilgan perpendikulyar uzunligiga teng bo‘ladi. Bu kesmani tushirish uchun uning tomondagi asosini topish lozim bo‘ladi. Buning uchun uchburchakning uchidan tomoniga balandlikni tushiramiz:
Unda uch perpendikulyarlar haqidagi teoremaga ko‘ra, bo‘ladi.
Demak, izlanayotgan kesma ekan.
2-masalaning yechimi
Endi kesmaning uzunligini topamiz. Buning uchun, oldin uchburchak yuzini Geron formulasidan foydalanib topamiz:
2-masalaning yechimi
to‘g‘ri burchakli uchburchakda, Pifagor teoremasiga ko‘ra

Javob: nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa
ga teng.
To‘g‘ri chiziq proyeksiyasi
tekislik va uni kesib o‘tuvchi va bu tekislikka perpendikulyar bo‘lmagan to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. to‘g‘ri chiziqning har bir nuqtasidan perpendikulyarlar tushiramiz. Bu perpendikulyarlarning asoslari to‘g‘ri chiziqni tashkil qiladi.
to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqning tekislikdagi proyeksiyasi deyiladi.
To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak
to‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak deb, to‘g‘ri chiziq bilan uning bu tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi.
To‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak
Agar to‘g‘ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo‘lsa, u bilan tekislik orasidagi burchak ga, agar parallel bo‘lsa, bu to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak ga teng deb olinadi.
5.26-masala
nuqta tomoni ga teng bo‘lgan teng tomonli uchburchakning uchlaridan masofada yotadi. nuqtadan uchburchak tekisligigacha bo‘lgan masofani toping.
5.26-masalaning yechimi
teng tomonli uchburchak bo‘lsin. uchburchak tekisligiga perpendikulyar o‘tkazamiz.
ekanligidan, bu og‘malarning proyeksiyalari ham o‘zaro tengdir, ya’ni .
Demak, uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bo‘ladi.
5.26-masalaning yechimi
5.26-masalaning yechimi
nuqtadan uchburchak tekisligigacha bo‘lgan masofa ga teng.
5.28-masala
Teng tomonli uchburchakning tomonlari ga teng. Uchburchak har bir uchidan masofada bo‘lgan nuqtadan uchburchak tekisligigacha bo‘lgan masofani toping.
5.28-masalaning yechimi
Yechish.
teng tomonli uchburchak bo‘lsin. uchburchak tekisligiga perpendikulyar o‘tkazamiz.
5.28-masalaning yechimi
ekanligidan, bu og‘malarning proyeksiyalari ham o‘zaro tengdir, ya’ni .
Demak, uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bo‘ladi.
5.28-masalaning yechimi

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

5.32. Berilgan nuqtadan tekislikka uzunliklari va bo‘lgan ikkita og‘ma o‘tkazilgan. Bu og‘malar proyeksiyasining ayirmasi ga teng. Og‘malar proyeksiyalarini toping.
5.33. Nuqtadan tekislikka ikkita og‘ma o‘tkazilgan. Agar:
1) ulardan biri ikkinchisidan uzun, og‘malarning proyeksiyalari va bo‘lsa;
2) og‘malar uzunliklari nisbatda bo‘lib, ularning proyeksiyalari va ga teng bo‘lsa, og‘malarning uzunliklarini toping.