Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-36 20 02 «Упаковочное производство»

часть становится положительной. Если какая-либо величина b
m
 ока-
зывается равной нулю, то в левую и правую части соответствующего 
выражения (7.2) добавляется слагаемое х
n + 1
, что делает величину b
m
отличной от нуля. При этом считают, что добавленное слагаемое 
вошло и в выражение (7.1), но c нулевым коэффициентом (с
n+1
= 0), 
что не изменяет выражения для целевой функции. 
Оптимальным решением задачи линейного программирования 
является такая совокупность значений независимых переменных, 
которая удовлетворяет условиям (7.2) и обеспечивает, в зависи-
мости от постановки задачи, минимальное или максимальное значе-
ние целевой функции (7.1). 
Обычно считают, что оптимум достигается при максимальном 
значении функции (7.1). Случай, когда требуется найти минималь-

---

37 
ное значение функции (7.1), может быть сведен к задаче максими-
зации путем изменения знаков у всех коэффициентов c
i
, т. е. 
max (c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ … + c
n
x
n
) = –min (–c
1
x
1
– c
2
x
2
– … – c
n
x
n
). 
Решение задачи оптимизации целевой функции (7.1) при двух оп-
тимизирующих параметрах x
1
и x
2
наиболее просто и может быть осу-
ществлено графически. В качестве примера рассмотрим функцию
F = 3х
1
+ 5х
2
, 
которую нужно максимизировать при ограничении
2х
1
+ 4x
2
≤ 8 и х
1
≥ 0, х
2
≥ 0. 
Очевидно, что при наложенных ограничениях оптимальные значе-
ния х
1
и x
2
, соответствующие максимуму целевой функции, не могут 
находиться за пределами заштрихованной области (рис. 7.1), ограни-
ченной прямой 2х
1
+ 4х
2
= 8 и координатными осями. Минимальная 
величина целевой функции для координат заштрихованной области
F = 3х
1
+ 5х
2
= 0, 
что соответствует показанной на рис. 7.1 пунктирной прямой, про-
ходящей через начало координат. 
Рис. 7.1. Решение задачи оптимизации целевой функции 

---

38 
Имеется семейство прямых, параллельных данной, каждая из ко-
торых соответствует различным значениям функции F. Как показа-
но на рис. 7.1, наибольшее возможное значение F соответствует 
пунктирной прямой, проходящей через точку с координатами x
2
= 0 
и х
1
= 4. Таким образом, окончательно имеем
F
max
= 3 
. 
4 + 5 

0 = 12. 
В рассмотренном примере максимальное значение функция при-
нимает на одной из вершин контура, ограничивающего область допу-
стимых значений оптимизирующих параметров. Данное обстоятель-
ство является характерным для такого типа задач. Иногда возможны 
случаи, когда решению задачи соответствует бесконечный набор зна-
чений оптимизирующих переменных. Геометрическая интерпретация 
таких вариантов заключается в том, что одна из границ многоугольни-
ка области возможных изменений переменных параллельна линии F, 
определяемой выражением критерия оптимальности. 
При числе оптимизирующих параметров свыше трех получить 
графическое решение невозможно [5, 8]. Для таких случаев разра-
ботаны различные итерационные приемы расчета, которые реали-
зуются на ЭВМ.