Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

3-§. Eyler tenglamasi 
Funksional analizning turli tatbiqlarda ushbu
( )
( , , )
b
a
F y
f x y y dx
′
=
∫

ko‘rinishdagi funksional tez-tez uchrab turadi. Bu yerda

f
funksiya
xOy

tekislikning biror

G
sohasida ixtiyoriy y′ uchun, hosilalari bilan uzluksiz bo‘lgan
uch o‘zgaruvchili funksiya.

F(y)
funksional chiziqli normalangan differensiallanuvchi funksiyalar fazosi

S
ning biror
M
qism to‘plamida aniqlangan.

Bu funksionalning differensiallanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning

uchun funksionalning
y
nuqtadagi orttirmasini qaraymiz:
( )
( ( , ( )
( ), ( )
( ))
( , , ))
( )
( )
( , , , , )
b
a
b
b
a
a
F y
f x y x
h x y x
h x
f x y y
dx
f
f
h x
h x
dx
r x y y h h dx
y
y
′
′
′
∆
=
+
+
−
⎛
⎞
∂
∂
′
′
′
=
+
+
⎜
⎟
′
∂
∂
⎝
⎠
∫
∫
∫
=

bu yerda birinchi qo‘shiluvchi h(x) ga nisbatan chiziqli, so‘nggi integral esa

xususiy hosilalarning uzluksizligi evaziga
max{ ( )), ( ) }
h x
h x
′
ga nisbatan yuqori
tartibli chiksiz kichik.

Funksional variatsiyasi quyidagiga teng:

( , )
(
( )
( ))
b
a
f
f
F y h
h x
h x dx
y
y
δ
∂
∂
′
=
+
′
∂
∂
∫

M to‘plam [a,b] kesmaning uchlarida teng qiymatlar qabul qiladigan y(x)

funksiyalardan iborat bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni geometrik nuqtai nazardan
funksionalni A(a,y(a)) va B(b,y(b)) nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziqlar
to‘plamida qaraymiz.

Funksional variatsiyasini nolga tenglashtiramiz:

( )
( )
0
b
a
f
f
h x
h x
dx
y
y
⎛ ∂
∂
′
⎞
+
=
⎜
′
∂
∂
⎝
⎠
∫
⎟
(1)
va ikkinchi qo‘shiluvchini bo‘laklab, integrallaymiz:
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

( )
( )

(
) ( )
b
b
b
a
a
a
f
f
d
f
h x dx
h x
h x dx
y
y
dx
y
∂
∂
∂
′
=
−
′
′
′
∂
∂
∂
∫
∫
.
( )
0
b
a
f
h x
y
∂
=
′
∂
, chunki
.
( )
( )
0
h b
h a
=
=
Demak,

( )
(

) ( )
b
b
a
a
f
d
f
h x dx
h x dx
y
dx
y
∂
∂
′
= −
′
∂
∂
∫
∫
′
′

(2)
(1) va (2) dan funksional variatsiyasi uchun quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:

( , )
(
) ( )
b
a
f
d
f
F x h
h x dx
y
dx y
δ
∂
∂
=
−
′
∂
∂
∫
.

Teorema
. Agar
( , )
0
F x h
δ
= bo‘lsa, u holda
0
f
d
f
x
dx y
∂
∂
−
=
′
∂
∂

(3)
bo‘ladi.

Isboti
. Haqiqatdan ham, agar biror [a
1
,b
1
]
⊂[a,b] kesmada
0 ( 0)
f
d
f
y
dx y
∂
∂
−
>
<
′
∂
∂
bo‘lsa, u holda [a
1
,b
1
] da musbat, bu segment tashqarisida
nolga teng bo‘lgan uzluksiz h(x) funksiyani olamiz.
Bu
holda
( , )
0 ( 0)
F x h
δ
>
< bo‘lgan bo‘lar edi. Bu ziddiyat (3) tenglikning
o‘rinli ekanligini isbotlaydi.
(3)
tenglik
Eyler tenglamasi deyiladi. Shunday qilib, berilgan funksionalning
statsionar nuqtasini, Eyler tenglamasini qanoatlantiruvchi y(x) funksiyani amalda
topish usulini bilamiz.

Eyler tenglamasining umumiy yechimi ikkita ixtiyoriy o‘zgarmasni o‘z

ichiga oladi, bu o‘zgarmaslarni kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilish
shartidan topish mumkin. Ammo topilgan statsionar nuqta (ular bir nechta bo‘lishi
ham mumkin), ya’ni topilgan egri chiziq, ekstremum bo‘lishi aniq emas.
Shuningdek, agar ekstremum bo‘lsa, uning minimum yoki maksimum ekanligi
aniq emas.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Funksional analiz universitet kurslarida [1, 2] bu masalani yechish uchun

analitik munosabatlar keltiriladi.

Ekstremum bo‘ladigan egri chiziqlar ekstremal deb ham yuritiladi.

Yuqoridagi muammo amalda masalaning mazmunidan va ekstremalga yaqin
bo‘lgan egri chiziq xossalaridan kelib chiqib hal qilinishi mumkin. Buni kelgusi
paragraflarda ko‘ramiz.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---