Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров
-§. Braxistoxron haqidagi masalaning yechimi
Download 373.34 Kb.
|
Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее у-fayllar.org
- Bu sahifa navigatsiya:
- -§. Eng kichik yuzli aylanma sirt haqidagi masala
|
4-§. Braxistoxron haqidagi masalaning yechimi
Braxistoxon haqidagi masala kirish qismida aytilgan edi. Shu masalaning yechimini qaraymiz. Koordinatalar boshini A nuqtaga ko‘chiramiz (5-rasm). Fizika kursidan ma’lumki moddiy nuqta A nuqtadan boshlang‘ich tezliksiz harakatlanganda 2 v g = y (1)
nuqta harakatlanayotgan egri chiziq bo‘lsin. U
2 1 y ds v dx dt dt ′ + = = , Bu yerda ds egri chiziq yoyining differensialli. Bundan
1 y dx v ′ + dt = , yoki (1) ni e’tiborga olsak 2 1 2 y dt dx gy ′ + = bo‘ladi. So‘ngi tenglikni integrallab, moddiy nuqtaning 5-rasm A nuqtadan B nuqtaga y=y(x) egri chiziq bo‘ylab, harakat vaqtini topamiz: 1
0 1 ( ) ( ) 2 ( ) x y x T y . dx gy x ′ + = ∫ Shunday qilib, braxistoxron haqidagi masala T(y) funksionalning ekstremumini topishga keltirildi. T(y) funksionalni C(0,x 1 ) fazoning 1- va 2- tartibli hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo‘lgan y=y(x) funksiyalar to‘plamida aniqlangan deb qaraymiz. 2
( , , ) 2 y f x y y gy ′ + ′ = funksiya uchun Eyler tenglamasini tuzib olamiz. qaralayotgan holda f funksiyada x o‘zgaruvchi qatnashmaydi, shu sababli Eyler tenglamasini batafsil qarab, quyidagiga ega bo‘lamiz: www.ziyouz.com kutubxonasi 0
y y xy yy y y d f f f f f y f y dx ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ − = − − ⋅ − ⋅ = bunda , shu sababli qaralayotgan f funksiya uchun Eyler tenglamasi umumiy holda quyidagi ko‘rinishda yoziladi. 0 xy f ′ ′′ ≡ (2)
y yy y y f f y f y ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ − ⋅ − ⋅ = Bu funksiya uchun birinchi integral quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: y
Haqiqatdan ham, 2 ( ) ( ) y y y y y y y y y y y y y d f y f f y f y f y f y dx f y y y f f y f y ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ′′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ Qavs ichidagi ifoda (2) tenglamaning chap tomoniga va (2) ga ko‘ra nolga teng. Demak, ( ) y d f y f dx ′ ′ ′ − = 0. Bundan foydalanib, birinchi integralni yozib olamiz: 2
1 1 1 2 2 2 (1 ) y y y C gy yC gy y ′ ′ + ′ − = = ′ + . Ikkala tomonini 2g ko‘paytirib, umumiy maxrajga keltiramiz, natijada 2
1 1 (1 ) C y y = ′ + bo‘ladi. Bundan 2 1 (1 ) C y y′ = + , yoki 2 1 C y y y − ′ = (3)
bo‘lib, uni parametr kiritish yordamida integrallaymiz. Yozuvni qisqartirish maqsadida izlanayotgan funksiyani quyidagicha 1 (1 cos ) 2 C y θ = − , parametrik www.ziyouz.com kutubxonasi ko‘rinishda ifodalab olamiz. U holda 1 sin 2 C d y dx θ θ ′ = bo‘ladi. Olingan natijalarni ( y va uchun) (3) ga qo‘yamiz. Soddalashtirishlardan so‘ng y′ 1
2 C d d θ θ − = x ± , bundan 1
1 ( sin ) , 2 (1 cos ) 2 C x C C y θ θ θ = ± + = − yechimga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, T(y) funksionalning ekstremallari tsikloidalardan iborat ekan. Masala shartlaridan foydalanib, C 1 va C 2 o‘zgarmaslarni topamiz. Egri chiziqning koordinatalar boshidan o‘tishini hisobga olsak 2 0 C = ekanligi kelib chiqadi. Egri chiziqning 1 θ θ = da B ( x 1 , y 1 ) nuqtadan o‘tishi lozimligini e’tiborga olib C 1 ni topamiz. Buning uchun 1 1 1 1 2 sin x C θ θ = − deb olish yetarli, bu yerda 1 θ qiymat 1
1 1 sin 1 cos 1 x y θ θ θ − = − shartni qanoatlantiradi. So‘ngi shartning istalgan x 1 va y 1 da bajarilishini tekshirib ko‘rishni o‘quvchilarga qoldiramiz. Fizik mulohazalardan ravshanki, biz topgan shart minimumni aniqlaydi. Chunki harakat eng ko‘p vaqt sodir bo‘ladigan egri chiziq umuman olganda mavjud emas. Endi quyidagi savolga javob beramiz. Matematik analizdan ma’lumki, ekstremum lokal xarakterga ega. Funksiya bir nechta ekstremumga ega bo‘lishi va bunda ulardan hech biri funksiyaning minimum qiymati ham maksimum qiymati ham bo‘lmasligi mumkin. Bu yerda shu masala qanday yechiladi? Berilgan masalani y = y ( x ), bu yerda y , va y′ y′′ uzluksiz www.ziyouz.com kutubxonasi funksiyalar, to‘plamida qarab, boshqa statsionar nuqta topganimiz yo‘q. Demak, bu holda masala bir qiymatli yechiladi. Bu masalani boshqa (funksiyalar) egri chiziqlar to‘plamida, qarash mumkin edi (masalan, siniq chiziqlar sinfida). Ammo bu holda yangi masala hosil bo‘ladi. Bu masalani bu yerda qaramaymiz. Braxistoxron masalasini yechish usuli jihatdan quyidagi fizik masalani yechish usuliga o‘xshash. Masala. Optik zichligi uzluksiz o‘zgaruvchi shaffof muhitda A va B nuqtalar berilgan. A nuqtadan B nuqtaga harakatlanuvchi nur traektoriyasini toping. Fizikadagi Ferma prinsipiga ko‘ra bu masala 1
funksionalning ekstremumini topishga keltiriladi. Xususiy holda, ya’ni v faqat u ning uzluksiz funksiyasi va y ga proportsional bo‘lganda braxistoxron masalasidagi funksionalga ega bo‘lamiz. www.ziyouz.com kutubxonasi 5-§. Eng kichik yuzli aylanma sirt haqidagi masala Aytaylik, xOy tekislikda A(x 0 ,y 0 ) va B(x 1 ,y 1 ) ikki nuqta berilgan bo‘lsin. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi barcha egri chiziqlar to‘plamining quyidagi qism to‘plamini qaraymiz: bu qism to‘plam y=y(x), bu yerda , y y ′ ′′ uzluksiz, egri chiziqlardan iborat. Shu to‘plamda shunday egri chiziqni topish kerakki, uni Ox atrofida aylantirish natijasida eng kichik yuzli sirt hosil bo‘lsin. Matematik analiz kursidan ma’lumki, aylanma sirt yuzi 0
( ) 2 1 x x S y y y dx π ′ = + ∫ funksional bilan ifodalanadi. Yuqoridagi paragrafdagi o‘xshash ( , ) b a Fy f x yy dx ′ = ∫ ko‘rinishdagi funksional ekstremumini topish masalasiga keldik, bu yerda integral ostidagi funksiyada x bevosita qatnashmaydi. Demak, Eyler tenglamasi (2) ko‘rinishida bo‘lib, uning birinchi integrali y
y f C ′ ′ − = , yoki bunga F ning ifodasini qo‘yib 2 2 1 1 y y y y y y C ′ ′ ′ + − ⋅ = ′ + ega bo‘lamiz. Buni soddalashtirib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: 2
y C y′ = + . Hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida y sh ϕ ′ = belgilash kiritamiz. U holda 2 1 y C sh Cch ϕ ϕ = + = , d y Csh dx ϕ ϕ ′ = ⋅ , yoki y sh ϕ ′ = ekanligini e’tiborga olsak 1
C dx ϕ = , www.ziyouz.com kutubxonasi bundan 1 x C C ϕ = + va x C C ϕ − = . Shunday qilib, 1 x C y Cch Cch C ϕ − = = zanjir chiziq tenglamasini hosil qilamiz. Demak, berilgan ikki nuqtadan (Oz o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan tekisliklarda yotgan va markazi shu o‘qda bo‘lgan ikkita aylanadan o‘tuvchi) aylanma sirt zanjir chiziqni aylantirishdan hosil bo‘ladi. Bunday sirt katenoid deb ataladi. Masala shartidan ko‘rinadiki, bu holda ham biz (braxistoxron masalasidagi
Ammo nuqtalarning turlicha joylashishiga qarab ekstremallar ikkita, bitta bo‘lishi yoki bitta ham bo‘lmasligi mumkin. www.ziyouz.com kutubxonasi |
