Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров
Download 373.34 Kb.
|
Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее у-fayllar.org
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2-teorema. a) idealning hech bir elementi teskari elementga ega emas. b) idealning yopilmasi ham trivial bo‘lmagan idealdir . Isboti
- 3-teorema . a) Banax algebrasining har qanday ideali biror maksimal idealning qismidir; b) ixtiyoriy maksimal ideal yopiqdir. Isboti
|
1-tasdiq. Banax algebrasida ko‘paytirish amali uzluksizdir.
Isboti. Aytaylik n x x → va bo‘lsin. U holda Banax algebrasining 4-aksiomasiga ko‘ra n →∞ da n y → y www.ziyouz.com kutubxonasi (
( ) n n n n n x y xy x x y x y y − = − + − ≤ 0
n n y x x x y y ≤ ⋅ − + ⋅ − → ga ega bo‘lamiz. Bu esa n n x y x → y ekanini bildiradi. Xususan, ko‘paytirish amali o‘ngdan va chapdan uzluksiz, ya’ni n x x → , uchun n y → y , n xy xy → n x y
→ bo‘ladi. 1-teorema. Aytaylik X Banax fazosi va shu bilan birga birli algebra bo‘lib, undagi ko‘paytirish amali o‘ngdan va chapdan uzluksiz bo‘lsin. U holda X dagi normaga ekvivalent bo‘lgan shunday norma mavjudki, bu normada X Banax algebrasi bo‘ladi. Isboti. X ning har bir x elementiga ushbu ( ) х М z xz = ( )
∈ tenglik yordamida х М operatorini mos qo‘yamiz. X ^ to‘plam X fazoda shu ko‘rinishdagi operatorlar to‘plami bo‘lsin. X
. Ravshanki, x moslik chiziqli va ta’rifga asosan ^ ( Х L X ⊂ ) x M → xy x y M M M = . Agar x ≠y bo‘lsa , u holda x M e = xe = x ≠ y = ye = y M e , ya’ni x y M M ≠ bo‘ladi. Demak, x x M → moslik X ni X^ ga aks ettiruvchi izomorfizm ekan. Endi, X ^ qism fazo L( X ) da yopiqligini va, demak, X ^ ning to‘la ekanligini ko‘rsatamiz. Operatorlar ketma – ketligi { } ^ n T X ⊂ berilgan va L ( X ) bo‘lsin deb faraz qilaylik. Bu yerda aniqlanishga ko‘ra n T T → ∈ n n T y x y = , n x ∈X , n=1,2,... Bundan = ( n n T y x y = n x e )y = (e)y, y ∈ X kelib chiqadi. n
X dagi ko‘paytirish amalining chapdan uzluksizligidan foydalansak, yuqoridagi tenglikdan da T(y) = T(e)y tenglik hosil bo‘ladi. Endi x=T(e) belgilash kiritamiz. U holda Ty = xy , ya’ni T ∈ X ^ bo‘ladi. Shunday qilib X ^ - Banax fazosi ekan. n → ∞ www.ziyouz.com kutubxonasi Ushbu х = хе = х М е ≤ х
е ⋅ tengsizlikka asosan х М х → teskari moslik ham uzluksiz bo‘ladi. Teskari operator haqidagi teoremaga asosan х х М → moslik ham uzluksiz. Demak, shunday S > 0 son mavjudki, х М С х ≤ , ya’ni 1
х М С х е ≤ ≤ bo‘ladi. Agar X da normani 1 х х М = tenglik bilan aniqlasak, yuqoridagiga asosan bu norma X dagi asl normaga ekvivalent. Bu normada esa X Banax algebrasidir, chunki operator normasining xossalariga asosan 1
xy x y x y 1 xy M M M M M x y = = ≤ ⋅ = , 1
e e M I = = = . Endi X kommutativ Banax algebrasiga ta’luqli ba’zi bir xossalarni ko‘rib chiqamiz. 4- ta’rif. Aytaylik J to‘plam X ning chiziqli qism fazosi bo‘lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ X va y ∈ J uchun xy ∈ J bo‘lsa, J to‘plam ideal deyiladi. Ravshanki, faqat nol elementdan iborat { θ } to‘plam, hamda barcha X fazoning o‘zidan iborat to‘plam ideallarga eng sodda misollardir. Bunday ideallar trivial ideallar deyiladi. Agar biror J o ideal
ning o‘zidan boshqa idealning xos qismi bo‘lmasa, u holda J o maksimal ideal deyiladi. 2-teorema. a) idealning hech bir elementi teskari elementga ega emas. b) idealning yopilmasi ham trivial bo‘lmagan idealdir . Isboti . a) agar biror a ∈ J uchun a mavjud bo‘lsa, u holda e=aa 1 − 1 − ∈ J, demak, ixtiyoriy x ∈ X uchun x=xe ∈ J , ya’ni X=J bo‘lib qoladi. Bu esa J ning trivial emasligiga zid. b) J ideal bo‘lsa, ma’lumki, uning yopilmasi J ^ qism fazo bo‘ladi. Endi ixtiyoriy x ∈ X va y ∈ J^ elementlarni olamiz. Agar { } n y ⊂ J va bo‘lsa, u n у y → www.ziyouz.com kutubxonasi holda X da ko‘paytirish amali uzluksiz bo‘lganligi sababli xy ∈ J^ bo‘ladi. Demak, J ^ ideal ekan. J^ ning X ga teng emasligi teskari elementga ega bo‘lgan elementlar to‘plami ochiq to‘plam bo‘lishidan kelib chiqadi. 3-teorema . a) Banax algebrasining har qanday ideali biror maksimal idealning qismidir; b) ixtiyoriy maksimal ideal yopiqdir. Isboti . a) J o biror ideal bo‘lsin. Uni o‘z ichiga oluvchi ideallar to‘plamini Q bilan belgilaymiz. Bu Q sistema “ ” munosabat yordamida qisman tartiblangan. Agar P Q biror chiziqli tartiblangan qismi bo‘lsa, ravshanki, M = ideal bo‘ladi. Ixtiyoriy J ∈P uchun e ⊂ ⊂ J P J ∈ ∪ ∉ J bo‘lgani sababli e ∉ M, ya’ni M ideal X dan farqli. Demak, har qanday chiziqli tartiblangan sistema yuqori chegaraga ega. Tsorn lemmasiga asosan Q da J ^ maksimal element mavjud. Demak, J ^ maksimal ideal va J o J ^. ⊂ b) Agar J maksimal ideal bo‘lsa, u holda 2-teoremadagi b) ga asosan J ning yopig‘i J ^ ham ideal bo‘ladi va J J^ # X . Bu esa J ning maksimalligiga zid. Demak, J=J ^. ⊂ Natija. Banax algebrasida teskari elementga ega bo‘lmagan har bir element biror maksimal idealda joylashgan bo‘ladi. Xususan, agar X maydon bo‘lmasa, maksimal ideallar to‘plami bo‘sh emas . Isboti. Agar biror h element uchun, uning teskarisi mavjud bo‘lmasa, u holda J = hX to‘plam ideal bo‘ladi. h ≠θ bo‘lgani uchun J ≠ { θ }. Endi e birlik element J ga tegishli bo‘lmagani sababli J ≠ X . Misollar . 1) – kompleks sonlar maydoni Banax algebrasiga eng sodda misol bo‘ladi, bunda C 2 z z x y = = + 2 , ( z = x+iy ). 2) R n - fazoda algebraik amallarni koordinatalar bo‘yicha, normani esa 1 max i i n х x ≤ ≤ = , x=( 1 2 , ,..., n x x x ), ko‘rinishda olsak, ravshanki, R n Banax algebrasi bo‘ladi. www.ziyouz.com kutubxonasi Bu misolda birlik element sifatida e = ( 1, 1, . . . , 1 ) olinadi. 3) Xausdorf kompakt to‘plam K da aniqlangan uzluksiz funksiyalar to‘plami C(K) da algebraik amallarni nuqtadagi qiymatlar yig‘indisi va songa ko‘paytmasi kabi kiritib, normani esa max ( ) t K f f t ∈ = , f ∈C(K) ko‘rinishda olamiz. Bu C(K) ning Banax algebrasi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. Bu algebrada birlik element K da aynan birga teng funksiya bo‘ladi. 4) algebra . Bu algebraning elementlari absolyut jamlanuvchi ikki tomonga cheksiz davom etgan 1 x= (. . . , x -n , . . . , 1 0 1 , , , x x x − . . . , n x , . . .) ko‘rinishdagi ketma–ketliklar bo‘lib, element normasi k k х x +∞ =−∞ = ∑ (*) kabi olinadi. Elementlarning yig‘indisi va songa ko‘paytirish amallari har bir koordinata bo‘yicha aniqlanadi. Ixtiyoriy x va y elementlarning z=x ⋅ y ko‘paytmasining koordinatalari quyidagicha aniqlanadi: =
) n n z x y = ⋅ n k k k x y +∞ − =−∞ ∑ . Agar algebraning har bir elementiga ushbu 1 ( ) ikt k k x t x ∞ =−∞ = ∑ e , 0 2 t π ≤ ≤ trigonometrik qatorni mos qo‘ysak, u holda yuqoridagi tenglik bilan aniqlangan z n ketma - ketlik x(t) va y(t) funksiyalarning ko‘paytmasiga mos keladi. Absolyut yaqinlashuvchi va Furye qatoriga yoyiluvchi funksiyalar algebrasini W bilan belgilab, bu algebrada normani (*) formula yordamida kiritamiz. Hosil qilingan va W fazolarning Banax algebralari bo‘lishi osonlikcha tekshiriladi. 1 Masalan, 4 aksiomani tekshiramiz: www.ziyouz.com kutubxonasi n n k k n n k x y z x +∞ +∞ +∞ − =−∞ =−∞ =−∞ ∗ = = ∑ ∑ ∑ y ≤ ∑ ∑ +∞ −∞ = +∞ −∞ = − ≤ ⋅ n k k k n y x ( ) n k k n k x y x +∞ +∞ − =−∞ =−∞ ⋅ = ⋅ ∑ ∑ y . Kiritilgan W va Banax algebralari o‘zaro izometrik izomorf algebralardir. 1 W algebrada birlik element sifatida e(t) ≡1 funksiya olinadi. Shuningdek, algebrada e= 1 { } k k e +∞ =−∞ element birlik element vazifasini bajaradi, bu yerda e k = 0, 0, 1, 0 k k ≠ ⎧ ⎨ = ⎩ . Keltirilgan 1–4 misollardagi algebralar kommutativ algebralarga misollardir. www.ziyouz.com kutubxonasi |
