Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§10. Геометрические книги “Начал”.
Cамую объемистую часть геометрических книг “Начал” составляют предложения. Под предложением Евклид понимал или теорему, или задачу на построение, не делая явного различия между тем и другим.

1. 
   Начинаем с первой книги. В ней, кроме определений, постулатов и аксиом, изложены предложения о треугольниках, перпендикулярах, параллельных и о параллелограммах. рассмотрим примеры, с тем, чтобы почувствовать стиль “Начал”.
   

Пример 1 (1). На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.
Эта задача на построение.
Пусть AB – данная ограниченная прямая (т. е. отрезок).
Из точки A радиусом AB опишем окружность, а из точки B радиусом BA также опишем окружность (постулат 3) (рис. 13). Точку С пересечения окружностей соединим с точками А и В (постулат 1).
П оскольку А центр круга, то АС = АВ (определение круга 15 ), а так как В – центр круга, то ВС=ВА (определение 15). Тогда и СА=СВ (аксиома 1).Значит, треугольник ABC равносторонний (определение 20).
(Это доказательство Евклида несколько модернизировано. В частности, у него нет символики, например, знака равенства; он лишь с помощью букв обозначает точки, прямые, окружности, треугольники и т. д.).
Решение задачи почти не отличается от современного. Но, строго говоря, нужно еще доказать, что проведенные окружности пересекаются, а это требует использования аксиомы непрерывности в той или иной форме.
Пример 2 (1.6). Если в треугольнике два угла равны между собой, то будут равны между собой и стороны, стягивающие равные углы.
А здесь перед нами теорема.
Пусть в треугольнике ABC угол ABC равен углу ACB/ Нужно доказать, что AB= AC.
Допустим, что AB и AC не равны, например, AB больше AC (рис.14)
О т большего отрезка АВ отнимем отрезок DB=AC (предложение 3) и соединим прямой точки D и С (аксиома 1).
Тогда треугольник DBC равен треугольнику ACB (предложение 4 – признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Получилось, что меньше − треугольник DBC равно большему – треугольнику ACB, а это невозможно (аксиома 5).
Мы рассмотрели здесь сравнительно простые
предложения из первой книги, другие предложения большей частью более громоздки по формулировке и сложнее в доказательстве или построении. Два последних предложения первой книги – это теорема Пифагора и ей обратная, разумеется, в геометрической форме и с геометрическим доказательством.
Обратим внимание, что Евклид старается тщательно обосновать каждый свой шаг в доказательстве или построении ссылками на предыдущие определения, постулаты, аксиомы и предложения. Он стремится не столько убедить читателя, сколько победить все возможные у него возражения.

2. 
   Вторая книга “Начал” посвящена геометрической алгебре, т.е. алгебраическим предложениям в геометрической форме.
   

Пример 3 (2.4.) Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками (рис.15).
Э та фактически алгебраическая формула
(при положительных a и b). Квадрат, как и везде, Евклид понимает как геометрический объект, а не как число.
Другие предложения второй книги носят похожий характер.
Зачем были нужны автору подобные предложения? Мы уже знаем, что древние греки ( до Диофанта, жившего значительно позднее – в III в. н. э.) не знали алгебры, между тем, алгебраические предложения были им необходимы для доказательства многих геометрических теорем. Поэтому вторая книга является вспомогательной; все ее предположения используются в ряде следующих книг “Начал”.

3. 
   Третья книга посвящена окружности. В ней, наряду с обычными для нас предложениями, имеется и ряд довольно тонких, например: две пересекающиеся (или касающиеся) окружности не могут иметь общего центра; две касающиеся окружности имеют только одну точку касания, и др.
   
4. 
   В четвертой книге рассматриваются вписанные и описанные многоугольники. В ней, в частности, излагается построение вписанных и описанных квадрата, правильного треугольника, пятиугольника, шестиугольника и 15-угольника. Однако в книге отсутствует привычные для нас признаки вписанного и описанного четырехугольников.
   
5. 
   Пятая книга “Начал” посвящена теории пропорций величин по Евдоксу. С этой теорией мы уже встречались в § 8.
   
6. 
   В шестой книге рассматривается подобие фигур. При этом существенно используется материал пятой книги. Среди предложений можно найти три признака подобия треугольников, а также построение отрезка, среднего пропорционального к двум данным отрезкам, отрезка, четвертого пропорционального к трем данным, и деление данного отрезка в среднем и крайнем отношении.
   
7. 
   Планиметрии посвящена еще десятая книга. в ней излагается классификация квадратичных иррациональностей по способу их построения, принадлежащая Теэтету (см. § 8).
   

Возникает вопрос: почему материал этой книги отодвинут так далеко, а не помещен сразу после шестой книги? Дело в том, что в ней широко применяется учение о числе ( натуральном), а оно у Евклида излагается в книгах 7-9.
Стереометрия, как мы уже знаем рассматривается в книгах 11-13. в этих книгах нет аксиом стереометрии, а все определения собраны в 11-й книге.

8. 
   11-я книга посвящена прямым и плоскостям в пространстве. Среди предложений книги имеется, в частности, такое: “ Если две плоскости сект (пересекают) друг друга, то общее их сечение будет прямой” – предложение, которое в современных школьных учебниках геометрии фигурирует в качестве аксиомы.
   
9. 
   В 12-й книге рассматриваются предложения, которые доказываются с помощью метода исчерпывания Евдокса (см. § 8): об отношениях площадей кругов, объемов пирамид, конусов, шаров и др. Вот пример такого предложения: “Всякий конус есть третья часть цилиндра, имеющего с ним то же самое основание и одинаковую высоту”.
   

У Евклида нет ни одной формулы площади или объема. В то время считалось, что эти формулы, правила являются делом практика: землемера, строителя и т. д., но не геометра. Кроме того, они требовали знакомства с иррациональными числами, которых греки не знали; с иррациональным числом мы встречаемся уже в формуле площади круг.
10. 13-я книга “Начал” посвящена правильным многогранникам.