Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§13. Работа Архимеда “ O спиралях”

1 .В начале работы “ O спиралях” Архимед вводит кривую, которая позднее получила название спирали Архимеда.

Пусть точка М перемещается по лучу от его начала О с постоянной линейной угловой скоростью V. Следовательно, точка М участвует в двух движениях – поступательном и вращательном. Геометрическое место всех таких точек М и называется спиралью Архимеда (рис.17).
Обозначим угол луча ОМ с его первоначальном положением через φ, длину отрезка ОМ через r. Тогда в момент движения t


(1)

Уравнения (1) являются параметрическими уравнениями спирали. Исключим из них параметр t, для чего первое из уравнений (1) разделим на второе:

Пологая здесь получаем уравнение спирали в полярных координатах:

Архимед это уравнение формулировал, разумеется, словесно.

1. 
   Далее автор находит площадь S фигуры, ограниченной первым витком спирали и полярной осью. При выводе он пользуется формулой площади кругового сектора
   

где R – радиус круга, а радианная мера соответствующего центрального угла, и формулой суммы квадратов п первых чисел натурального ряда



которую специально вывел.
Разделим угол, равный 2π, на п равных частей (рис.18). На каждом из углов, равных , построим два круговых сектора, один из которых целиком содержится в данной фигуре, а другой содержит в себе соответствующую часть фигуры. (Исключением является только первый из углов, равный : здесь описанный круговой сектор есть, а вписанного нет.)
И сключением является только первый из углов, равный : здесь описанный круговой сектор есть, а вписанного нет.)
Найдем площадь описанного и вписанного ступенчатых фигур, составленных из таких круговых секторов. Обозначим эти площади соответственно через

Получается неравенство

С другой стороны, искомая площадь S фигуры находится в тех же границах:

Далее при современных средствах доказательства можно было бы применить, например, теорему Кантора о стягивающейся последовательности отрезков. Архимед так поступить не мог; он проводит доказательство формулы

с помощью метода исчерпывания.

Спрашивается: а разве он не мог приступить прямо к доказательству формулы (5), минуя неравенство (3)? Не мог, так как ему предварительно требовалось догадаться, что формула (5) справедлива.
Вычислением площадей и объемов Архимед занимается и в других работах: « О квадратуре параболы», «О коноидах и сфероидах», « О шаре и цилиндре» и т. д.. При этом он пользуется методом исчерпывания, а для того, чтобы предварительно догадаться, какую формулу следует доказывать, - или геометрическими соображениями, близкими к тем, которыми он пользовался в работе « О спиралях» для оценки искомой площади сверху и снизу, или даже помощью механики, а именно – правилом равновесия рычага.
В работе « О спиралях» Архимед использовал формулы

и


где каждое из принимал равным Эти суммы весьма похожи на современные интегральные суммы; в случае, если кривая задана уравнением
в прямоугольных декартовых координатах, интегральные суммы, как известно, имеют вид

а если кривая задана уравнением в полярных координатах, - вид

Подобные суммы встречаются у него и у других, упомянутых выше, работах. Кроме того, несомненно, что он владел ( в неявной форме) понятием определенного интеграла как предела интегральных сумм. Поэтому Архимед является первым предшественником интегрального исчисления. Его методы в этой области были возрождены лишь через две тысячи лет, в XVII в., когда ученые вплотную занялись задачами дифференциального и интегрального исчисления.

2. 
   В работе « О спиралях» Архимед занимается также проведением касательной к спирали. Других работ, в которых рассматривается отыскание касательных, у него почти нет, но метод, которым он пользуется для построения касательной к спирали, носит общий характер, т.е. применим для проведения касательной к любой другой дифференцируемой кривой. В другой работе он решает еще задачу об отыскании максимума функции и тоже общим методом. Следовательно, Архимед был и первым предшественником дифференциального исчисления. Однако дифференциальных методов у него сравнительно много, поэтому математики XVII в. н. э. их не замечали.
   

Приходится удивляться, как Архимед, не владея алгебраической символикой, умудрялся чисто словесно проводить довольно громоздкие преобразования выражений, да еще и с их оценкой сверху и снизу. Работы Архимеда являются непревзойденными по сложности во всей древнегреческой математике, поэтому его доказательства в большинстве работ в течение почти двух тысяч лет мало кто из математиков понимал. Кроме того, Архимед выделяется в греческой науке обилием вычислений, что было совершенно нехарактерно для математики IV в. до н.э., которая, следуя Платону, не рассматривала практических приложений математики.