Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 20. Древнерусская математика

ВIX в. образовалась Киевская Русь – государство, объединившее племена славян. Несколько раньше на территории , занятой этими племенами, складывается феодальный строй. В 988 г. при князе Владимире Киевская Русь приняла от Византии христианство. После крещения на Русь из Византии стали проникать культура и просвещение. Нумерация и письменность, первоначально составленные в IX в. по образцу греческой для Болгарии, позднее были перенесены без существенных изменений в Киевскую Русь. Нумерация была алфавитной, т.е. для обозначения узловых чисел: единиц, десятков и сотен использовались последовательные буквы алфавита – тип, скопированный с древнегреческой нумерации. Для отличения цифр от букв над буквой писали специальный знак , который назывался «титло». Приведем примеры записи чисел по этой старославянской системе (рис. 32).

рис.32
Имелись и обозначения для гораздо больших степеней 10, хотя это и не вызывалось практической необходимостью (на Руси было пристрастие к большим числам). Вот пример записи промежуточного числа: Следовательно, эта нумерация, как и любая алфавитная, была аддитивной, а кроме того, десятичной непозиционной.

Действия над натуральными числами производились, видимо с помощью перекладывания костей или камешков.
Из дробей были известны , а также половины этих долей, символических обозначений дробей не было.
Математические расчеты упоминаются в некоторых литературных сочинениях того времени, особенно в «Русской правде» - юридическом сборнике, впервые появившемся в XI в. и затем неоднократно видоизменявшемся и дополнявшемся. В частности, в этом сборнике выполняются денежные расчеты, связанные с торговлей и налогами, имеются сельскохозяйственные статьи на приплод скота, на подсчет урожая, на межевание земли и др.
В IX- XI вв. феодальные отношения в Киевской Руси получают дальнейшее развитие. Киев и Новгород ведут оживленную торговлю с соседними странами и становятся крупными торгово-ремесленными центрами. Киевская Русь в XII в. – одно из наиболее развитых в экономическом и культурном отношении европейских государств.
Но уже в XI в. начинается дробление древнерусского государства. В 1237-1242 гг. на Русь нагрянули отряды татаро-монголов и стали громить славянские княжества поодиночке; князья даже не пытались придти на помощь друг другу. От нашествия убереглось только Новгородское княжество, но и оно вынуждено было платить дань татарам; в настоящее время археологические раскопки именно в Новгороде дают ученым наибольшее количество открытий, относящихся к X-XIV вв., в виде записей на бересте. Славянам в крайне тяжелых условиях татаромонгольского ига приходилось думать не о торговле, а о том, чтобы выжить.
Начиная с XIV в. Московское княжество занялось объединением славянских земель. Но окончательное избавление от ига татаро-монголов произошло лишь в 1480 г. при Иване III.
В XV-XVII вв. складывается огромное многонациональное Российское государство. Математика требуется для многих целей: нужно было развивать торговлю, строит здания и крепости, измерять расстояния, площади и объемы, собирать налоги, составлять календарь. При этом школ не было, обучение письму, чтению и счету проводилось при монастырях, причем число обучающихся было весьма незначительным. Россия в XV-XVII вв. продолжала пользоваться старославянской нумерацией.
В XV-XVII вв. складывается система мер. конечно, меры существовали еще в Киевской Руси и даже раньше, но, например, в различных княжествах Киевской Руси применялись разные меры, а нередко меры с одним и тем же названием отличались друг от друга.
1.Меры длины
В XI-XII вв. имелись следующие единицы длины: пядь, локоть, сажень, верста. Существовали два вида пядей: малая пядь – расстояние между концами большого и указательного пальцев руки, расставленных в стороны (около 19 см), и большая пядь – расстояние между концами большого пальца и мизинца (около 23 см). Локтем называлось расстояние от конца вытянутого среднего пальца до локтевого сгиба (около 46 см).
В XV-XVII вв. эти единицы сохраняются. Имелось несколько видов саженей, как и в Киевской Руси, но главной становится косая сажень - расстояние от концов пальцев вытянутой в верх правой руки до концов пальцев левой ноги (около 213 см). Верста определялась как 500 сажен (≈500∙2,13м=1,065 км). Вводились и такие единицы: аршин сажени (около 71 см) и вершок аршина (≈4,4 см).
Эти единицы были установлены как единая система мер России в XVII в., а окончательно уточнены указом Петра I в начале XVIII в. В указе были также установлены соотношения между этими единицами и английскими милями, футами и дюймами.
2.Меры площади
Основными единицами площади с XVI в. становятся квадратная сажень и десятина квадратных сажен (≈1,1 га).
3.Денежные единицы.
В Киевской Руси основной денежной единицей была гривна - брусок серебра (весом около 409 г.). В XII-XIII вв. гривну стали рубить на две равные части; одна такая часть стала называться рублем.
Настоящий денежный счет начинается в XV в. С XVI в. употребляются следующие денежные единицы:
1 рубль = 100 копейкам, 1 полтина = 50 копейкам,
1 гривенник = 10 копейкам, 1 алтын = 3 копейкам,

1. 
   деньга = ½ копейки, 1 полушка = ½ деньги.
   

4. 
   Меры веса
   

Киевская гривна с XVI в. стала называться фунтом и превратилась в весовую единицу. Фунт позднее стал определяться так: это вес «доброй» горсти зерна, которую может удержать на ладони человек. Пуд, который долгое время определялся по- разному, с XVI в. стал приравниваться 40 фунтам (≈40∙409 г≈16,4 кг).
Подсчеты велись на счетной доске. К XVIII в. она трансформировалась в русские счеты.
В XVI и особенно в XVII в. появляются в значительном количестве русские математические рукописи, как правило, безымянных авторов. Эти рукописи были, в основном, оригинальны, а не являлись переводами или переработками сочинений зарубежных математиков. Из их содержания видно, что они предназначались для купцов, чиновников, землемеров и др.
Рукописи строились по одному и тому же плану. Сначала рассматриваются натуральные числа (старославянская нумерация) и дроби, а также правила арифметических действий над ними. Затем следуют задачи, главным образом, прикладного характера, разделенные на типы: «Статья тройная» (тройное правило), «Статья деловая» (пропорциональное деление), «Статья торговая», «Дощаной счет», «Меновая в торгах», «Складная торговля» и др. В рукописях приводятся и европейские цифры (в десятичной позиционной нумерации), правда, довольно редко.
Встречались также отдельные рукописи по геометрии, например, содержательный учебник Елизарьева (многие теоремы планиметрии, главным образом, из «Начал» Евклида, без доказательств). С появлением в России книгопечатания издаются не только книги религиозного характера, как было до XVII в., но и книги светского содержания, в том числе отдельные книги по математике. Появляются и переводные сочинения по математике.

Все же в конце XVII в. Россия далеко отставала по уровню развития экономики, культуры и науки от передовых стран Западной Европы: Англии, Голландии и др. Крупный подъем страны наступает в первой четверти XVIII в. в связи с реформаторской, преобразовательной деятельностью Петра I .