Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

Греческая математика после Диофанта

Диофант был последним математиком древней Греции.

Властители мира – римляне ценили в математике только практическую сторону, доказательства их не интересовали. При деятельном участии христианской церкви постепенно уничтожается знаменитая александрийская библиотека. Именно церкви мы обязаны тем, что многие сочинения Евклида, Архимеда и других ученых не дошли до наших дней.
В такой обстановке, крайне неблагоприятной для развития науки, математикой занимаются по-прежнему греческие ученые, главным образом, из числа тех, что жили в Александрии.
В IV в. н.э. в Александрии работал Папп, написавший крупное сочинение “Математическое собрание”. В нем, кроме комментариев к Архимеду, Аполлонию и др., имеется и немало открытий самого Паппа, например, теорема проективной геометрии, которая гораздо позднее, в XYII в., получила название теоремы Дезарга, и теорема об объеме тела вращения: объем тела вращения плоской фигуры вокруг оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры (в современных учебниках по математическому анализу последняя теорема проводится под названием теоремы Паппа – Гульдина).
В конце IV - начало V в., также в Александрии, жила Гипатия – первая в истории женщина-математик. Она известна как автор комментариев к Аполлонию и Диофанту, читала публичные лекции по математике и физике и славилась красотой, умой и безупречной жизнью. Толпа фанатиков-христиан растерзала ее за то, что она не хотела порвать с языческим эллинизмом.
Известны также Прокл (V в.) и Евтокий (VI в.) – комментаторы классических сочинений греческой математики и историки математики.
В конце IVв. Римская империя распалась на Западную и Восточную. Западная империя несколько раз подвергалась разгрому племенами варваров, а в 476 г. была окончательно уничтожена. Этот год считается концом истории древнего мира. В указанный период жил Боэций (V – VI вв.) – последний ученый древности и одновременно первый ученый средневековья. Он, в частности, перевел на латинский язык три первые книги “Начал” Евклида (без доказательств). Что касается Восточной империи, то она под именем Византии просуществовала до XV в. Византийский император Юстиниан в 529 г. издал свой знаменитый свод законов – так называемый юстинианов кодекс. В нем имелась и статья, относящаяся к математике. Называлась она так: «О злоумышленниках, математиках и тому подобных». В ней, в частности, говорилось: «Совершенно воспрещается достойное осуждения искусство математики». В том же году императором была закрыта научная школа в Афинах – последняя греческая математическая школа.
Математика древнего и средневекового Китая

В IV-VI вв. н.э. центр культуры и науки, в частности, математики перемещается с Запада, где для их развития сложились весьма неблагоприятные условия, на Восток – в Китай, Индию, позднее в арабские страны.

В V в. н.э. в Западной Европе наступает эпоха феодализма. Примерно тогда же это происходит в странах Востока. Математика периода феодализма носит, главным образом, вычислительный, прикладной характер. Строгости доказательства придается гораздо меньшее значение, чем в древней Греции.
В древности среди стран Востока математика раньше всего начинает развиваться в Китае. Китай – страна богатой, разнообразной культуры. В частности, там еще во II в. до н.э. была изобретена бумага, в VII-X вв. н.э. – компас и порох. В VII-XI вв. изобретается книгопечатание, намного раньше, чем это было сделано в Западной Европе.
Древнекитайская нумерация была десятичной, причем при записи больших чисел пользовалась как аддитивным (связанным со сложением), так и мультипликативным (связанным с умножением) принципами. Старая система счисления, сохранявшаяся с очень давнего времени и применяющаяся и сейчас, была иероглифической (рис. 27, вторая строка); в научной системе, гораздо более позднего происхождения, для записи чисел применялись горизонтальные и вертикальные черточки (рис.27, третья строка).



Рис.27

Знак для нуля в виде кружка появился лишь в XIII в. и, возможно, заимствован у индийцев. Были известны также обыкновенные дроби. Действия как над натуральными числами, так и над дробями производились только на счетной доске и сводились к перекладыванию счетных палочек. Китайская нумерация не является в полной мере десятичной позиционной, во всяком случае, до появления нуля.

Центральное сочинение старинной китайской математической литературы – “Математика в девяти книгах”. Это сочинение было составлено во II в. до н.э. видным чиновником Чжен Цаном на основе более ранних работ, не сохранившихся до наших дней, и затем в течение нескольких веков перерабатывалось и дополнялось различными авторами.
“Математика в девяти книгах” являлась математической энциклопедией того времени. Как видно из содержания, сочинение предназначалось для землемеров, чиновников, торговцев и инженеров. В нем 246 задач с весьма краткими решениями, классифицированных не столько по методам решения, сколько по темам, главным образом, практического характера: “Измерение полей”, “Оценка работ” и др. Решения задач излагаются в догматической форме, обоснований, доказательств нигде нет.
Рассмотрим математическое содержание этого сочинения.

1. 
   Используются верные правила вычисления площадей прямоугольника, треугольника, трапеции, круга, объемов прямого параллелепипеда, цилиндра, конуса, усеченного конуса. Число π везде, где оно используется, принимается равным 3.
   
2. 
   Решаются задачи на пропорциональное деление.
   
3. 
   Решаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом двух ложных положений.
   
4. 
   Рассматриваются системы линейных уравнений с неизвестными. Они решаются на счетной доске методом, близким к методу Гаусса.
   
5. 
   Вводятся отрицательные числа, задолго до ученых Индии и Западной Европы.
   
6. 
   Вводятся десятичные дроби, также задолго до ученых арабских стран и Западной Европы.
   
7. 
   Используются теорема Пифагора и правило нахождения пифагоровых треугольников. Видимо, они получены независимо от ученых Вавилона и пифагорейской школы. Рассматриваются свойства подобных треугольников. Решаются квадратные уравнения.
   
8. 
   Решаются диофантовы уравнения и системы диофантовых уравнений.
   
9. 
   Используется правило Горнера приближенного нахождения квадратных и кубичных корней.
   

Для сочинения характерна вычислительно-алгоритмическая направленность. Задачи решаются, в основном, с помощью счетной доски. Алгебраической символики нет.
В последующие столетия в математике Китая были сделаны многие новые открытия. Математика достигла расцвета в XIII-XIV вв.
С помощью десятичных дробей было уточнено значение π . При приближенном решении уравнений высших степеней широко используется метод Горнера. Решаются разнообразные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Выводится формула для cуммы

Чжу Ши-цзе (XIII в.) приводит правила вычисления сумм вида



и др. У него же мы находим таблицу биноминальных коэффициентов до n=8.
Хотя математика Китая многими своими открытиями определила математику Западной Европы, ее влияние на общий процесс развития математики оказалось незначительным. Причина, во-первых, в том, что в древности и в средние века Китай был слабо связан с передовыми странами того времени, за исключением Индии, и неохотно пускал к себе иностранцев. Во-вторых, математические задачи в Китае в большинстве случаев решались на счетной доске, а письменные приемы решения задач появились сравнительно поздно.