Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 27. Последующие предшественники интегрального
исчисления
К последующим предшественникам интегрального исчисления относятся ученые, работающие во второй половине XVII в. до появления в печати первых работ Лейбница по дифференциальному и интегральному исчислению, -П. Ферма, Б. Паскаль, Д. Валлис и др. Формально все они оставались в рамках метода неделимых, но стремились объяснить, как следует понимать его язык. Вместо сумм неделимых Кавальери они рассматривали или суммы
(используя бесконечные ряды), или даже интегральные суммы
с конечным числом слагаемых . Предельный переход отчетливо заметен только у Валлиса. В первую очередь, были известны работы. Б.Паскаля и П. Ферма по вычислению площадей и объемов ввиду авторитета, которым пользовались эти ученые в научных кругах, но по-видимому, еще большего внимания, чем это случилось в действительности, заслуживали результаты Валлиса. Приведем примеры из работы « Арифметические исследования» этого английского ученого, опубликованной в 1656 г.
П ример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Разделим отрезок оси на n равных частей и через точки деления проведем прямые, параллельные оси (рис. 39).
Тогда на основании основного положения теории неделимых площади фигур ОВС и OABC относятся (приближенно), как суммы неделимых этих фигур, проведенных через точки деления оси :


Последнее выражение при стремится к . Валлис, не зная теорем о пределах, догадывается об этом, подавая n значения 1,2,3,4,5,6. Теперь получаем точную формулу

откуда

Этот результат фактически означает следующее:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Аналогичным способом Валлис получает, что площадь такой фигуры
,
а это равносильно формуле

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
),
В аллис приводит соответствующие формулы без доказательства, пользуясь неполной индукцией:

Для нас она означает следующее:

Найдем еще площадь фигуры OAB:

П ример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
(рис. 41).
Валлис проектирует соответствующую фигуру OBC не на ось Ox, а на ось Oy, т.е. заменяет уравнение на уравнение а отрезок оси Ox− на отрезок оси Oy. Тогда, по предыдущему (см. пример 3), получаем:

Этот результат равносилен формуле

Наконец, на примерах Валлис обобщает выведенные формулы на степени с любым положительным рациональным показателем.