Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 28. Предшественники дифференциального исчисления

Первым предшественником дифференциального исчисления был Архимед. Однако дифференциальных методов в работах Архимеда было немного, и они не были замечены ни в Греции, ни в средние века, ни, наконец, в XVII в. Поэтому ученые XVII в., решая задачи дифференциального исчисления, вынуждены были начать с нуля. В XVII в. задачами дифференциального исчисления занимались П. Ферма, Б. Паскаль, Ж. Роберваль, Е. Торричелли, И. Барроу и др.

П. Ферма один из первых стал находить экстремумы величин. Этому вопросу посвящена его работа « Метод отыскания наибольших и наименьших значений» (число опубликовано в 1642−1644 гг., а полностью – после смерти автора в 1679 г.). Задачу нахождения экстремума он решает на примерах, но общим методом.
Пример. Данный отрезок рассечь точкой на такие два отрезка, чтобы прямоугольный параллелепипед, построенный на квадрате был наибольшим.
Положим

(напомним, что это символика Виета – гласными буквами). Тогда объем параллелепипеда
Теперь Ферма дает переменной приращение и находит новое значение объема:

Приравняем (приближенно) эти значения объема:



После сокращения на получим:

В последнем равенстве Ферма полагает после этого будем иметь, по его мнению, точное равенство:

Фактически здесь использовался принцип пренебрежения бесконечно малыми высших порядков: отбрасываются те члены первоначального равенства, которые содержат бесконечно малую во второй или третьей степени. Этот принцип был хорошо известен и широко применялся в XVII в.
Теперь разберемся в выкладках Ферма с точки зрения современного дифференциального исчисления. Положим Тогда


Так как в случае, когда есть многочлен, полагать равносильно тому, что стремится к нулю, то последнее равенство можно заменить следующим:

Мы получим необходимый признак экстремума Ферма: в точке экстремума дифференцируемой функции ее производная обращается в нуль. Но его обоснования автор не дал. Нет у него и достаточного признака экстремума.
Метод Ферма решения задач на экстремум пользовался известностью в Западной Европе под названием «метода наибольших и наименьших». Но некоторые ученые указывали на его противоречивость: с одной стороны, автор сокращает равенство на бесконечно малую и, следовательно, считает, что а с другой – после этого полагает
Похожим методом Ферма строит касательные к кривым. Он демонстрирует его также только на примерах, но мы рассмотрим сразу общий случай, сохраняя идею автора.
П усть кривая задана уравнением Положим подкасательная к кривой (рис. 42). Очевидно, построение касательной к построению подкасательной т.е. к нахождению точки
Дадим переменной приращение и положим 𝒬=J

Треугольники (где треугольник − криволинейный) приближенно подобны. Тогда

В последнем равенстве положим получаем, по мнению Ферма, точное равенство:

С нашей точки зрения это означает следующее:

где абсцисса точки
Рассмотрим еще результаты Барроу. Исаак Барроу (1630−1677) окончил университет в Кембридже (Англия) и там же преподавал. Среди его университетских учебников был Ньютон. В 1669−1670 гг. Барроу издал «Лекции по оптике и геометрии». В этих лекциях он, в частности, строит касательные к кривым методом, близким к методу Ферма. Остановимся на двух важных задачах, которые Барроу решает в своих лекциях:

1. 
   как, зная касательную к кривой, найти площадь криволинейной трапеции, находящееся под этой кривой;
   
2. 
   как, зная площадь криволинейной трапеции, находящейся под кривой, построить касательную к кривой.
   

По существу, здесь речь идет о взаимной обратности операции дифференцирования и интегрирования, но без современных терминов и символики, а кроме того, в геометрической форме. К тому же у Барроу эти задачи отделены друг от друга большим числом теорем, не сопоставлены между собой и в дальнейшем почти не используются.