Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 30. Интегральное исчисление у Ньютона

Вопросы интегрального исчисления Ньютона зачастую рассматривал параллельно с вопросами дифференциального исчисления.

Интегральное исчисление он называет обратным исчислением флюксий. Здесь основная проблема у него формулируется следующим образом: по данному уравнению, содержащему флюксии, найти уравнение между флюэнтами (т.е. по данному уравнению, содержащему производные двух или нескольких функций, найти уравнение между самими функциями). Эта задача белее общая и трудная, чем задача интегрирования данной функции.
Сначала остановимся на более простой задаче, которую решает Ньютон, - задаче отыскания первообразной. Ее Ньютон всегда трактует геометрически, как задачу квадратуры кривой. В основе лежит следующее утверждение: флюксия переменной площади равна ординате точки кривой. Этому предложению Ньютон в разных работах дал разные доказательства. Рассмотрим одно из них.
Наряду с переменной криволинейной фигурой возьмем переменный прямоугольник с тем же основанием (рис 43).

Обе фигуры порождаются движением соответственно отрезков Тогда, по Ньютону, флюксии площадей этих фигур будут всегда в том же отношении, что и описывающие их линии:

откуда . Если теперь положить
В переводе на современный язык полученный результат означает

следующее: если площадь

то

так что площадь является первообразной для ординаты точки кривой. Фактически это связано с формулой площади криволинейной трапеции



Например, продолжает Ньютон, площадь фигуры под кривой на отрезке равна , так как

Положим
Таким образом, здесь, как и во многих других подобных случаях, Ньютон проверяет интегрирование дифференцированием, устанавливая связь между этими двумя операциями.
Он составляет обширные таблицы квадратур данных кривых, т. е. фактически таблицы интегралов.
Была ли у него формула Ньютона-Лейбница

где первообразная для функции формула, которая сейчас считается основной в интегральном исчислении? Была, как и у Лейбница, хотя оба автора не придавали ей первостепенного значения.
Вернемся к основной проблеме обратного исчисления флюксий. В общем случае Ньютон решал ее с помощью рядов. Для ее решения ему пришлось оперировать с рядами, в частности, перемножая и деля их, и применять метод неопределенных коэффициентов. Понадобились и разложения элементарных функций в степенные ряды.
Ньютон нашел разложение функции



Это так называемый биномиального приведенное здесь равенство справедливо только при .Далее Ньютон находит разложение в ряд функции Методом неопределенных коэффициентов он приводит обращение этого ряда и получает разложение в ряд функции , а следовательно, и Далее он получает разложение в ряд функции а отсюда и функции
Ньютон был убежден, что любую функцию можно разложить в степенной ряд. Но он был еще далек от современных представлений о сумме ряда и об области сходимости функционального ряда.
Самые серьезные затруднения Ньютон испытывал с обоснованием полученных им результатов. Не хватало теории пределов.
В работе «Математические начала натуральной философии» он строит своеобразную теорию пределов, состоящую из 12 лемм геометрического содержания, с доказательствами этих лемм. Рассмотрим некоторые из них.
Лемма 1: величины, которые постоянно стремятся к равенству в продолжение любого конечного времени и которые приближаются друг к другу ближе, чем на любую данную разность ранее конца этого времени, напоследок становятся равными (т.е. их пределы равны).
Лемма 3: последнее отношение площади криволинейной фигуры (трапеции) и площади вписанной и описанной около нее фигур; составленных из прямоугольников с неравными основаниями, наибольшее из которых безгранично уменьшается, равно 1. Другими словами,

где наибольшее из оснований прямоугольников.
Лемма 6: угол между касательной к кривой и хордой, проведенной через точку касания, в конце становится равным нулю, когда другой конец хорды неограниченно приближается к точке касания.
Но определения предела у Ньютона нет; особенно трудным был случай «последнего отношения» двух « исчезающих» величин, который потребовал от автора длинных объяснение. Нет также определения бесконечно малой и свойств предела суммы, произведения и частного. Главное же – свою теорию пределов Ньютон применяет только в « Математических началах», т.е. к вопросам механики, но не пользуется ею в других работах. К созданию полноценной теории пределов он смог сделать лишь первые шаги.