Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 32. Интегральное исчисление у Лейбница

В 1686 г. Лейбниц опубликовал в журнале первую печатную работу по интегральному исчислению – статью « О глубокой геометрии и анализе неделимых и бесконечных». Здесь он впервые ввел знак интеграла образовав его от слова Лишь в позднее, в 1690 г., после появления в печати статьи И. Бернулли, который ввел термин «интеграл» (от латинского целый, весь), Лейбниц также стал пользоваться этим словом.

Под интегралом он понимал сумму вида

С современной точки зрения, интеграл у Лейбница, как правило, представлял собой определенный интеграл с переменным верхним пределом; нижний предел у него зачастую равен нулю. Например, пишет Лейбниц,

так как

Здесь явно используется взаимная обратность операций дифференцирования и интегрирования. В общем же случае он в других своих работах при вычислении интегралов намеривался использовать бесконечные степенные ряды.
В данной статье и в некоторых других Лейбниц рассматривает многочисленные приложения интегрального исчисления к нахождению площадей фигур, длин кривых, центров тяжести фигур и др.
И в дифференциальном , и в интегральном исчислении он широко пользуется термином «бесконечно малая». При этом у Лейбница не было ясного представления о потенциальной бесконечно малой – переменной, которая может сделаться и в дальнейшем оставаться ( по модулю) меньшей любого данного положительного числа. Вместо этого он обычно применяет актуальные бесконечно малые − положительные постоянные, которые меньше любого положительного числа. Последнее понятие противоречиво, но тем не менее Лейбниц с его помощью и с помощью принципа пренебрежения бесконечно малыми высших порядков получал верные формулы и в дифференциальном, и в интегральном исчислении.
Он неоднократно пытался дать белее строгое обоснование анализа бесконечно малых, в том числе прибегая иногда к потенциальным бесконечно малым, но каждый раз терпел неудачу. Тем не менее, Лейбниц считал приложения анализа оправданными верностью тех результатов, к которым он приводит. Строгое обоснование анализа на основе теории пределов было выполнено лишь в XIX в.
У Лейбница появилась научная школа, крупнейшими учеными которой были братья Бернулли – Якоб и Иоганн, и французский математик Франсуа Лопиталь. Совместно с братьями Бернулли, особенно с Иоганном, Лейбниц обогащает анализ большим количеством идей и технических приемов. В частности, для интегрирования дробно - рациональных функций он впервые применяет разложение правильных дробей в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.
Лопиталь в 1696 г. издал первый учебник по дифференциальному исчислению – « Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий». Основной материал учебника заимствован из работ Лейбница и И. Бернулли. Заслуга Лопиталя – методическая обработка этого материала, ясное, четкое изложение, насколько это было возможно в рамках дифференциального исчисления Лейбница.
После Лопиталя другими авторами были написаны учебные пособия по дифференциальному и интегральному исчислению. В XVIII в. анализ бесконечно малых начали преподавать в университетах, особенно во Франции.
Анализ Лейбница пользовался в странах континентальной Европы гораздо большей известностью, чем анализ Ньютона. Дело было в наличии печатных работ, в более удобной символике, наконец, в научной школе Лейбница, которая и после его смерти продолжала пропагандировать и развивать его идеи. В конце XVII в. начался спор о приоритете в анализе бесконечно малых между учеными европейского континента и английскими учеными. Этот спор продолжался более ста лет и привел к разрыву научных связей между теми и другими. Английские ученые из патриотических побуждений долгое время продолжали пользоваться менее разработанными идеями и менее удобной символикой Ньютона.