Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 35. Учение о числе в XVII – XIX вв.

В XVII в. были уже известны десятичные дроби. Нов XVII− XVIII

вв. они используются, главным образом, только в таблицах логарифмов и тригонометрических таблицах. Лишь в конце XVIII в. они становятся основным средством представления действительных чисел в связи с введением во Франции метрической системы мер. В конце века появились бесконечные десятичные дроби; чаще всего применяются периодические дроби. В XVII в. были введены цепные (непрерывные) дроби в связи с алгоритмом Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. В XVIII в. они находят применение при представлении сначала квадратичных иррациональностей, а затем и других иррациональных чисел бесконечными цепными дробями; особенно велики здесь заслуги Эйлера.
Но что понимать под действительным числом? (В XVII – XVIII вв. употребляли термин «число».) Ньютон в конце XVII в. дал следующее определение действительного числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же ряда, принятой за единицу». Это определение хотя и не вполне корректно с точки зрения современной математики, но хорошо выражало суть дела, а потому широко применялось в XVIII в.; в частности, оно позволяло рассматривать отношение двух несоизмеримых величин как иррациональное число. Однако определение Ньютона охватывало только положительные числа.
Отрицательные числа появились в европейской математике в XVI в., но долгое время не считались числами, равноправными с положительными числами. Дело было и в логических, и в психологических трудностях; в частности, были неясны правила действий с отрицательными числами. Декарт и Жирар в XVII в. дали геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел как противоположно направленных отрезков. Отрицательные числа оказались полезными, в алгебре; они позволили записывать в единой форме квадратные, кубичные и вообще алгебраические уравнения й степени. Однако признание они получили лишь в конце XVIII в., а строгие арифметические теории отрицательного числа были впервые разработаны лишь в XIX в.
Довольно долгой была и история комплексных чисел. Мнимые числа появились в математике также в XVI в.; это было связано с решением кубических уравнений (неприводимый случай). В XVI вв. мнимые числа считались фиктивными, « воображаемыми» числами в противоположность действительным, хотя и полезными в некоторых вопросах математики. Лишь в XVIII в. они стали широко применяться в связи с авторитетом Эйлера, который распространил элементарные функции на комплексную область. Эйлер первым стал записывать мнимую единицу буквой (от слова imaginaire мнимый), а комплексное число в виде действительные числа. Термин « комплексное число» ввел французский математик Л.Карно в 1803 г. Эйлер и Даламбер стали изображать комплексные числа геометрически, как точки координатной плоскости, но это открытие осталось незамеченным, отчасти потому, что оно было напечатано в работах Эйлера и Даламбера по геометрии и механике, а кроме того , не хватало геометрической интерпретации действий над комплексными числами.
Полное геометрическое истолкование комплексных чисел дали датский ученый К. Вессель ( в 1797 г.) и французский математик Ж.Д. Арган (в 1806г.). Работы обоих были опубликованы, но статья Весселя оказалась незамеченной, а работа Аргана стала хорошо известной. Окончательное признание комплексные числа получили после того, как ими стали широко пользоваться такие авторитетные ученые XIX в., как К.Гаусс (в частности, при доказательстве основной теоремы алгебры) и О. Коши ( в своей теории функции комплексной переменной).
В XIX в. многие ученые пытались создать – мерный аналог комплексных чисел. В 1843 г. ирландский математик У.Гамильтон ввел в математику кватернионы – элементы вида

где действительные числа, так называемые мнимые единицы, умножение которых выполняется по следующим правила:


Можно доказать, что умножение кватернионов ассоциативно. Но оно, как видно из записанных равенств, не коммутативно.
В конце XIX в. К. Вейерштрасс, Г. Фробениус и др. доказали, что любое расширение понятия числа за пределы множества комплексных чисел связано с отказом от каких-либо обычных свойств операций над числами.
Не хватало теории действительного числа. Она была необходима не только для учения о числе, но и потому, что математический анализ, который в XIX в. проходил стадию перестройки на логической основе, базируется на теории действительного числа.
В 1872 г., почти одновременно, в печати появляется несколько теорий действительного числа различных авторов Р. Дедекинда, Г. Кантора, К. Вейерштрасса, Г.А. Гейне и Ш. Мерэ. В каждой из них предполагалось, что рациональные числа уже известны.
Рассмотрим теорию Р. Дедекинда.
Сечением во множестве рациональных чисел называется такое разбиение этого множества на два класса что каждое рациональное число попадает в один и только один из этих классов и любой элемент класса меньше любого элемента класса Существуют три вида сечений: 1) в классе имеется наибольший элемент, а в классе нет наименьшего; 2) в классе нет наибольшего элемента, но в классе есть наименьший элемент; 3) в классе нет наибольшего элемента и одновременно в классе нет наименьшего элемента.
Примером сечения третьего типа может служить следующий: отнесем к классу все отрицательные числа, квадрат которых меньше 2, а к классу все остальные рациональные числа.
Действительным числом называется любое сечение во множестве рациональных чисел. Если это сечение первого или второго типа, то оно является рациональным числом (которое отделяет числа одного класса от чисел другого и, следовательно, представляет собой наибольший элемент в классе или наименьший в классе ). Сечение третьего типа называется иррациональным числом. В приведенном выше примере это число равно оно тоже отделяет числа одного класса от чисел другого, но, разумеется, не входит ни в один из них.
Остановимся еще на теории Г. Кантора.
Последовательность рациональных чисел называется фундаментальной, если для любого рационального существует такое натуральное число , что при любом натуральном и любом натуральном выполняется неравенство
Две фундаментальные последовательности и рациональных чисел называются эквивалентными, если для любого рационального существует такое натуральное число , что при любом выполняется неравенство
Действительным числом называется класс всех эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Если все последовательности такого класса имеют рациональный предел ( общий для всех последовательностей), то он и является соответствующим действительным числом. Если же все последовательности одного класса не имеют рационального предела, то этот класс называется иррациональным числом. позднее в теории пределов можно доказать, что это иррациональное число является пределом каждой из последовательностей класса.
(Эта теория близка к критерию Коши сходимости числовой последовательности: последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, − только здесь предполагается, что действительные числа уже известны.)
Теория действительных чисел имеет своим началом теорию натуральных чисел. Первую строгую теорию натуральных чисел, построенную на аксиоматической основе, опубликовал итальянский математик Д. Пеано
в 1891 г.