Учебное пособие для педагогических университетов и педагогических институтов Челябинск 2003г

§ 24. Составление таблиц логарифмов

В конце XVI – начале XVII вв. резко возрос объем вычислений, которые приходилось проводить ученым. Это было связано прежде всего с потребностями астрономии и тригонометрии, а также финансового и торгового дела, а с развитием анализа бесконечно малых – и с необходимостью решения задач анализа. Дело упиралось в несовершенство вычислительной техники того времени. В частности чувствовалась необходимость в изобретении десятичных дробей. Десятичные дроби впервые ввел один из арабских ученых – ал-Каши еще в XV в., но его открытие осталось незамеченным.

В западной Европе десятичные дроби открыл голландский инженер и математик Симон Стевин. В 1585 г. он издал маленькую, всего в 7 страниц, работу «Десятая», посвященную десятичным дробям. При этом он применял своеобразные обозначения; например, дробь 5,912 он записывал следующим образом:

1

2

3

0
5 9 1 2

Очевидно, здесь в кружках записаны номера разрядов соответствующих цифр.

Несколько позднее десятичные дроби стали записывать привычным для нас способом. При этом для отделения целой части числа от дробной известный немецкий астроном и математик Кеплер ввел запятую, а английский ученый Джон Непер – точку. Точка при записи десятичных дробей и сейчас употребляется в англоязычных странах. Десятичные дроби стали использоваться при составлении тригонометрических таблиц и таблиц логарифмов.
В XVI в. идея логарифма носилась в воздухе. Она выражалась в сопоставлении членов арифметической и геометрической прогрессий. Рассмотрим таблицу значений степени (табл. 2).

n	1	2	3	4	5	6	7	…
	a							…

Табл. 2
Когда показатель пробегает арифметическую прогрессию, степень пробегает геометрическую прогрессию. С современной точки зрения Несколько ученых заметили, что с помощью таких таблиц можно упрощать вычисления: умножению и делению членов геометрической прогрессии, иными словами, умножение и деление нижней строки можно заменить сложением и вычитанием соответствующих чисел верхней строки; возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии отвечают умножение и деление в арифметической прогрессии. Очевидно, это зародыш идеи логарифма; в частности, здесь запрятаны свойства логарифма произведения, частного, степени и корня.

Подобные идеи выражали французский ученый Николь Орем еще в конце XIV в., французский математик Никола Шюке в конце XV в. и особенно немецкий ученый из школы коссистов Михаэль Штифель в середине XVI в.
Стремление расширить таблицы значений степени на случай, когда показатель n принимает не только натуральные значения, значительно способствовало формированию в XIV – XVII вв. понятий о степени с нулевым, целым отрицательным и дробным показателем.
На первых порах проблема была в том, какое число взять в качестве основания степени , т.е. в качестве знаменателя геометрической прогрессии. Дело в том, что, например, при и тем более при эта степень с возрастанием n растет слишком быстро, что не позволяло включить в геометрическую прогрессию многие числа. Поэтому на первых порах приходилось в качестве брать число, близкое к 1: в этом случае степень с возрастанием изменяется гораздо медленнее.
Первые таблицы логарифмов составили независимо друг от друга английский ученый Д. Непер и швейцарский математик И. Бюрги.
Иост Бюрги был часовым дел мастером в Праге, позднее работал вместе с Кеплером, помогал ему в составлении астрономических таблиц. В 1620 г. он издал сочинение «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии».
Бюрги выбрал знаменатель геометрической прогрессии равным Члены геометрической прогрессии он умножал на , для того, чтобы возможно дольше избегать дробей, а члены арифметической прогрессии – на 10. Получается, что члены арифметической прогрессии имеют вид , а члены геометрической прогрессии – вид .
Числа не являются логарифмами чисел , но если разделить члены геометрической прогрессии Бюрги на , а члены арифметической прогрессии – на 10, то получатся логарифмы по основанию
1,0001:
Джон Непер был шотландским бароном. Он окончил университет в Эдинбурге и затем всю жизнь прожил в своем поместье. занятый гигантским трудом по составлению своих таблиц.
В1614 г., следовательно, раньше, чем Бюрги, он опубликовал сочинение « Описание удивительной таблицы логарифмов». Термин « логарифм» придумал сам Непер, образовав его из греческих слов «логос» - отношение и «аритмос» - число; получается что-то вроде числового отношения.
его таблицы были восьмизначными таблицами логарифмов синусов и косинусов для значений аргумента от до через . Они были гораздо обширнее таблиц Бюрги и поэтому получили значительно большую известность.
Непер выбрал знаменатель геометрической прогрессии равным . Члены геометрической и арифметической прогрессии у него имеют соответственно вид

В этом случае он называл логарифмом числа . В частности, при он получал , что логарифм равен нулю.
Натуральные логарифмы иногда в учебной литературе называют неперовыми логарифмами. Но отсюда видно, что логарифмы Непера близки к логарифмам по основанию .
Непер не имел ясного представления об основании логарифма, но, вероятно, догадывался, что целесообразнее считать логарифмом показатель степени; явно эта идея была высказана только в конце XVII в. И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Его таблицы логарифмов были все еще неудобны для применения. По – видимому, Непер считал, что определение логарифма нужно изменить так, чтобы логарифм единицы был равен нулю, и что в связи с распространением десятичных дробей за знаменатель геометрической прогрессии лучше принять число 10. Лондонский профессор математики Генри Бригс навестил Непера, и они вдвоем обдумывали, как усовершенствовать таблицы Непера. Сам Непер заняться уже этим не мог по состоянию здоровья, и замысел был осуществлен Бригсом. Бригс составил 14-значные таблицы десятичных логарифмов натуральных чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000; позднее эти таблицы были исправлены и дополнены другими авторами. Рассмотрим один из двух важных приемов, употребленных Бригсом, значительно осовременивая его изложение.
Из курса математического анализа известен замечательный предел

Положим здесь

Отсюда следует приближенная формула

которая дает тем лучшее приближение, чем больше . О существовании этой формулы ученые уже догадывались, приближаясь тем самым к понятию натурального логарифма. В частности, если

Так как по формуле перехода от одного основания логарифмов к другому

,
то


.

Проблема была в том, как вычислять . Бригс выбирал, видимо, по предложению Непера, числа m и n в виде степеней двойки, сводя тем самым дело к повторному извлечению квадратных корней (ручной алгоритм извлечения квадратных корней был тогда уже хорошо известен). Например, для получаем:

и т.д.
В 1619 г. лондонский учитель математики Д. Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов; их важность для математики ученые поняли много позже. В 1784 г. Георг Вега, уроженец Словении, выпустил семизначные таблицы десятичных логарифмов, существенно уточненные в сравнении с таблицами Бригса; они широко применялись вплоть до недавнего времени.
В 20−30-х гг. XVII в. лондонский математик Э. Гунтер изобрел логарифмическую линейку, а В. Отред, также английский ученый, ее усовершенствовал. Однако известность она получила только XIX в. в связи со значительным увеличением числа инженеров, требовавшихся в промышленности и строительстве. В настоящее время, с появлением калькуляторов, таблицы логарифмов и логарифмическая линейка почти не применяется.
Скажем еще несколько слов о первых вычислительных машинах. В 1624 г. немецкий ученый В.Шикард, друг Кеплера, изобрел вычислительную машину, похожую на арифмометр еще недавних лет; впрочем, он не успел ее построить. В 1642 г. французский математик Б. Паскаль изобрел и построил вычислительную машину, принципы работы которой были те же. что и у Шикарда. В 1671 г. немецкий ученый Г. Лейбниц также изобрел и построил вычислительную машину, белее совершенную, чем у его предшественников. Но настоящие высококачественные арифмометры были созданы лишь в конце XIX в.
Вернемся к логарифмам. Открытие логарифмов имело огромное теоретическое значение. В конце XVII в. Г.Лейбниц и И.Ньютон ввели логарифмическую и показательную функции, а в середине XVIII в. Л. Эйлер подробно их изучил; в частности, Эйлер рассмотрел показательную и логарифмическую функции комплексного аргумента.