Учебное пособие Красноярск

Глава 2
новном эта система состоит из уравнений двух типов: уравнения 
уровней и уравнения темпов. При построении уравнений уровней 
временная ось разбивается на интервалы времени ∆t
ij
между i-м и j-м 
моментами времени [2].
Новые значения уровней рассчитываются на конец интервала, 
и по ним определяются новые темпы (решения) для следующего ин-
тервала ∆ t
i
(j + 1).
Новый уровень = Текущий уровень + Входящий поток – Ис-
ходящий поток
z
i
= z
i – 1
+ ∆t (∆x
i
– ∆y
i
), i = 1, ..., n. 
(2.1)
В системной динамике такое равенство называется функцио-
нальным уравнением уровня.
А для вычисления прироста ∆x и сокращения ∆y уровней z вво-
дят функциональные уравнения темпов. Уравнение темпа на выходе 
можно записать в виде
∆y
i
/ ∆t = Z
i – 1
/ T, 
(2.2)
где Z
i – 1
– величина уровня, отражающего запаздывание в момент 
времени i; T – константа (среднее время), необходимое для преодо-
ления запаздывания.
Рис. 2.2. Базовая структура модели Форрестера: 
– уравнения темпов, 
– канал потока, 
→ – источники информации

---

73
Системная динамика
К числу достоинств модели относятся возможность отражать 
практически любую причинно-следственную связь; простая матема-
тическая форма; использование терминологии, синонимичной язы-
ку экономики и производства. Из уравнений уровней (2.1) для ос-
новных фазовых переменных (так называемых системных уровней) 
можно записать дифференциальные уравнения типа
,
i
i
dz
y
y
dt
+
−
=
−
(2.3)
где 
i
y
+
– положительный темп скорости переменной y, включающий 
в себя все факторы, вызывающие рост переменной y, i – индекс ре-
зервуара (уровня); 
i
y
−
– отрицательный темп скорости, включающий 
в себя все факторы, вызывающие убывание переменной y.
Предполагается, что эти темпы расщепляются на произведе-
ние функций, зависящих только от «факторов» – комбинаций основ-
ных переменных, т. е., в свою очередь, самих являющихся функция-
ми системных уровней:
y
±
= g (y
1
, y
2
, …, y
n
) = f (F
1
, F
2
, …, F
k
) = f
1
(F
1
) f
2
(F
2
) … f
k
(F
k
), (2.4)
где F
j
= g
j
(y
i1
…y
im
) – факторы, причем m = m (j) < n, k ˂ n, n – число 
уровней, т. е. факторов меньше, чем основных переменных, и каж-
дый фактор зависит не от всех системных уровней, а только от какой-
то их части. Это позволяет упростить задачу моделирования.
Этапы построения модели Форрестера [2]:
1) 
построение базовой структуры модели в виде специализи-
рованного графа;
2) 
параметризация графа и построение соответствующей си-
стемы уравнений;
3) 
описание полученной модели на одном из языков и систем 
программирования и проведение экспериментов.
Рассмотрим задачу диффузии по Басу. Пусть имеется магазин, 
в который приходят покупатели (клиенты), и задача состоит в по-
строении модели системной динамики того, как происходит процесс 
продажи, и за счет чего происходит изменение продажи.

---

74