Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

11. Примеры моделирования механических систем 
11.1. Задача о колебаниях математического маятника 
Математическим маятником называется тяжѐлая ма-
териальная точка, которая двигается или по вертикальной 
окружности (плоский математический маятник), или по сфе-
ре (сферический маятник). В первом приближении математи-
ческим маятником можно считать груз малых размеров, под-
вешенный на нерастяжимой гибкой нити. 
Рассмотрим движение плоского математического маят-
ника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). 
Пусть положение точки М (маятника) определяется углом от-
клонения φ радиуса ОМ от вертикали. Направим касательную 
Mτ в сторону положительного отсчѐта угла φ. Уравнение 
движения маятника составим на основании второго закона 
Ньютона в виде 
mW = F+N, 
(11.1) 
где F– действующая на точку активная сила;
W– ускорение точки M; 
N– реакция связи. 
Рис. 1. Схема колебаний математического маятника 

---

221 
Уравнение (11.1) мы получили по второму закону Нью-
тона, который является основным законом динамики и гла-
сит, что производная по времени от количества движения ма-
териальной точки равна действующей на неѐ силе, т. е. 
(mv) = F 
(11.2) 
где v – скорость точки M. 
Считая массу постоянной, можно представить уравне-
ние (11.2) в виде 
или . 
Итак, уравнение (11.1) в проекции на ось τ даст нам од-
но из естественных уравнений движения точки по заданной 
неподвижной гладкой кривой: 
или 
=
. 
В нашем случае получим в проекции на ось τ 
, 
где m – масса маятника. 
Так как v = l
 или v = l 
, отсюда находим 
Сокращая на m и полагая 
,
(11.3) 
будем окончательно иметь: 
.
(11.4) 
Рассмотрим сначала случай малых колебаний. Пусть в 
начальный момент маятник отклонѐн от вертикали на угол φ
0
и опущен без начальной скорости. Тогда начальные условия 
будут: 

---

222 
при 
= 0, 
, 
̇ . 
(11.5) 
Из интеграла энергии: 
,
(11.6) 
где V 
потенциальная энергия, а h — постоянная интегриро-
вания, следует, что при этих условиях в любой момент вре-
мени угол φ ≤ φ
0
. Значение постоянной h определяется по 
начальным данным. Допустим, что угол φ
0
мал; тогда угол φ 
будет также мал и можно приближѐнно положить sin φ ≈ φ. 
При этом уравнение (11.4) примет вид 
.
(11.7) 
Уравнение (11.7) есть дифференциальное уравнение 
простого гармонического колебания. Общее решение этого 
уравнения имеет вид 
,
(11.8) 
где A и B или a и ε суть постоянные интегрирования. 
Отсюда сразу находим период T малых колебаний ма-
тематического маятника (период 
промежуток времени, в 
течение которого точка возвращается в прежнее положение с 
той же скоростью) 
и
, 
т.к. sin имеет период равный 2
𝜋, то ωT=2𝜋, следовательно 
T = 
𝜋√
(11.9) 
Для нахождения закона движения при начальных усло-
виях (11.5) вычисляем: 
̇
(11.10) 
Подставляя значения (11.5) в уравнения (11.8) и (11.10), 
получим: 

---

223 
φ
0
= A, 0 = ωB, 
т.е. B=0. Следовательно, закон движения для малых колеба-
ний будет: 
φ = φ
0
cosωt. 
(11.11) 
Найдѐм теперь точное решение задачи о плоском мате-
матическом маятнике. Определим сначала первый интеграл 
уравнения движения (11.4). Так как 
=
̇
̇
̇
̇
, 
то (11.4) можно представить в виде 
̇
̇
. 
Отсюда, умножая обе части уравнение на dφ и интегри-
руя, получим: 
̇
.
(11.12) 
Обозначим здесь через φ
0
угол максимального отклоне-
ния маятника; тогда при φ = φ
0
будем иметь 
̇ , откуда
C = ω
2 
cos φ
0
. В результате интеграл (11.12) даѐт: 
̇
, 
(11.13) 
где ω определяется равенством (11.3). 
Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и 
может быть непосредственно получен из уравнения 
,
(11.14) 
где 
работа на перемещении M
0
M активной силы 
F, если учесть, что в нашем случае v
0
=0, 
̇ и 
Из уравнения (11.13) видно, что при движении маятника 
угол φ будет изменяться между значениями +φ
0
и 
φ
0
(|φ|<φ
0
, 
так как 
̇
), т.е. маятник будет совершать колебательное 
движение. Условимся отсчитывать время t от момента про-

---

224 
хождения маятника через вертикаль OA при его движении 
право (см. рисунок 1). Тогда будем иметь начальное условие: 
при t = 0,φ = 0.
(11.15) 
Кроме того, при движении из точки A будет 
̇ ; из-
влекая из обеих частей равенства (11.13) квадратный корень, 
получим: 
√
.