Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

6.2. Действительные и возможные перемещения, 
число степеней свободы, идеальные связи 
Действительным перемещением системы называется 
бесконечно малое ее перемещение, совершающееся в процес-
се движения под действием как заданных сил, так и реакций 
связей. Оно происходит за время dt в соответствии с динами-
ческими уравнениями движения и уравнениями связей и ха-
рактеризуется изменением координат 
⃗
1, 
⃗
2
,…, 
⃗
N
, где 
⃗
i
(
i
, 
i
, 
i
). 
Вариацией или возможным (виртуальным) перемещени-
ем точки в случае голономных связей называется любое до-
пускаемое наложенными связями элементарное перемещение 
материальной точки из положения, занимаемого ею в данный 

---

138 
фиксированный момент времени, в бесконечно близкое по-
ложение, которое она может занимать в тот же момент 
времени. 
Возможные (виртуальные) перемещения точек системы 
выражаются малыми изменениями радиус-векторов ее точек, 
которые будем обозначать через 
⃗
1
, 
⃗
2
,…, 
⃗
N
, где 
⃗
I
(
i
, 
i
, 
i
). Векторы 
⃗
i 
и их проекции 
i
, 
i
, 
i
называются 
простыми или изохронными вариациями радиус-векторов и 
координат. 
Вариации координат можно задать аналитически, 
например, так. Пусть координатах
i
изменяется со временем 
по некоторому закону х
i
(t). Изменим вид самой функции, 
положив 
̃
i
i
i
i
где 
i 
– произвольный достаточно малый по модулю параметр 
(число), а 
i
 
– произвольная дифференцируемая функция, 
ограниченная во времени для всех t. Величины 
i
i
 
назы-
ваются изохронными вариациями функций 
i
обозначают-
ся через 
i
. Следовательно, по определению 
i
i
i
. 
Введем понятие изохронной вариации функции, завися-
щей от координат, которые сами могут являться функциями 
времени, т.е. для функций 
. 
Главная линейная часть приращения функции при фик-
сированном t называется изохронной вариацией функции и 
обозначается 
. 
Пусть, например, на точку наложена нестационарная 
голономная связь 
(6.2) 

---

139 
В фиксированный момент t сообщаем точке виртуаль-
ное перемещение 
⃗ в новом положении
Приращение функции равно нулю; ее изохронная вари-
ация: 
(6.3) 
(t фиксировано, 
Наложенная связь ограничивает вариации координат 
этим соотношением в каждый момент времени. 
Если связь неголономная вида
̇ ̇ ̇
(6.4) 
где x, y, z – координаты точки; 
̇ ̇ ̇ их производные по 
времени; 
функции то проекции воз-
можного перемещения точки на координатные оси, т.е. вари-
ации 
координат точки, должны удовлетворять ра-
венствам 
(6.5) 
(последнее слагаемое 
отбрасывается, так как момент t 
фиксируется, 
Возможное перемещение системы – это любая сово-
купность возможных перемещений точек заданной механи-
ческой системы, допускаемая всеми наложенными на нее 
связями. 
При удерживающих связях для любого возможного пе-
ремещения точки механической системы противоположное 
ему перемещение также является возможным; тогда как при 
неудерживающих связях имеются возможные перемещения, 
противоположные которым не являются возможными. 
Число независимых возможных перемещений механи-
ческой системы называется числом ее степеней свободы. 

---

140 
Число степеней свободы системы совпадает с числом незави-
симых вариаций координат. 
Если система голономная (связи голономны), ее число 
степеней свободы совпадает с числом независимых коорди-
нат, однозначно определяющих положение системы, или с 
числом свойственных системе независимых перемещений. 
Важным является понятие идеальных связей – связей, 
для которых сумма работ их реакций равна нулю на любом 
возможном перемещении механической системы (при удер-
живающих связях). При неудерживающих связях идеальные 
связи – такие связи, сумма работ реакций которых равна ну-
лю на всех тех возможных перемещениях, противоположные 
которым тоже являются возможными. 
Пример. Массивное колечко перемещается по стержню, 
который равномерно вращается в горизонтальной плоскости. 
Виртуальное перемещение колечка в момент t – это беско-
нечно малое его перемещение 
⃗, которое совершается на 
самом деле на вращающемся стержне и обусловлено дей-
ствующими силами. 
Пример. Массивное кольцо скользит вниз по неподвиж-
ной натянутой проволоке, связь реализована проволокой. Ко-
ординаты кольца 
связаны уравнением 
(6.6) 
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Одна 
степень свободы. Если трение между кольцом и проволокой 
отсутствует, то связь идеальна. 
Пример. При тех же условиях проволока натянута на 
клине, который может перемещаться по горизонтальной 
плоскости. 
Координаты кольца 
1
, 
1
и координаты точки клина 
2
, 
2 
связаны уравнениями 

---

141 
; y
2 
= 0
(6.7)
Связь голономная, стационарная, удерживающая. Две 
степени свободы (четыре вариации координат 
1
1
2
, 
2
) связаны двумя зависимостями, которые легко найти ва-
рьированием уравнения (6.7), если отсутствует третье между 
кольцом и проволокой и также между клином горизонталь-
ной плоскостью, то эти связи идеальные. 
Пример. При тех же условиях, что и в предыдущем 
примере, движение клина задано заранее: клин перемещают 
равномерно в направлении оси х со скоростью v. Координаты 
кольца связаны уравнением 
(6.8) 
Связь голономная, нестационарная, удерживающая. Од-
на степень свободы. Фиксируя t и варьируя (6.8), находим 
т.е. две вариации связаны одним уравнением. Если трения 
между кольцом и проволокой нет, эта связь идеальная. 
Пример. Колесико планиметра (прибора для измерения 
площадей по картам и планам) катится без скольжения по го-
ризонтальной плоскости карты. Положение колесика опреде-
ляется координатами 
c
c 
его центра 
c
радиус ко-
лесика), углом 
между плоскостью колесика и осью и уг-
лом поворота
колесика вокруг своей оси, так как скольже-
ние колесика исключено, то 
c
̇. Острый обод колесика 
исключает перемещение в направлении, перпендикулярном 
его плоскости.
Следовательно, вектор 
⃗
c 
лежит в плоскости колесика, и 
поэтому 
̇
c
̇ ̇
c
̇
или 
c
c
. 

---

142 
Динамика несвободных систем сводится к динамике 
свободных систем на основе аксиомы о связях: не изменяя 
движение системы, связь можно отбросить, заменив ее дей-
ствие соответствующей силой – реакцией связи; после заме-
ны система рассматривается уже как свободная. 
Силы, действующие на материальные точки системы,