Uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalar yechish usullari

---

Telegram : @analysis314 
Uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalar yechish usullari 
 
ko’rinishidagi tenglama uchinchi darajali (kubik ) tenglama deyiladi. 
Bu tenglamaning umumiy yechimini topaylik. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda 
deb 
olish mumkin. Quyidagi almashtirishni bajaraylik
Ushbu almashtirishni tenglamaga keltirib qoyamiz.
(
)
(
)
(
)
Qavslarni ochib soddalashtirsak quyidagi soddalashgan tenglamaga kelamiz.
(
) (
)
Endi 
belgilashni kiritamiz. Bu holda tenglama quyidagi holatga 
keladi.
almashtirishni bajaramiz.
( )
( )
( ) ( )
( )( )
va ( )( ) bo’lsa, tenglama ildizga ega bo’ladi. 
{
⇒ ,
⇒ {
( )
Ildizlari
va
bo’lgan kvadrat tenglamani tuzib olamiz.
Bundan 
√
√
va
√ 
√
√ 
√
Demak, 
tenglikdan quyidagi ifodaga kelamiz.
√ 
√
√ 
√
( ) 
(1) ifodaga 
Kardano formulasi deyiladi.
Har bir sonning 3 ta kompleks ildizga ekanligini inobatga olsak, ikkala ildiz uchun jami to’qqizta
kombinatsiya hosil bo’ladi.( ikkala ildiz deganda nazarda tutilgan) va to’qqiz xil aniqlanadi.
Lekin ulardan faqatgina 
shartni qanoatlantiruvchilarigina tenglamaning yechimi 
bo’ladi. 
Aytaylik 
lar izlanayotgan juftlik bo’lsin. Qolgan U holda 
mos qiymatlar esa, 
, va
ga mos qiymatlar esa
bo’ladi.

---

Telegram : @analysis314 
Bu yerda
√ 
√ 
ya’ni 1 ning boshlang’ich ildizlari. 
Demak, Kardano formulasi orqali barcha
( )
yechimlarini aniqlash mumkin.
Kardano formulasidan ko’rinadiki
ning ishorasi tenglamaning yechimlariga ta’sir 
qiladi. Quyidagi hollarni qaraymiz.
1-hol. Agar 
bo’lsin. Bu holda
√
va 
√
sonlarning 
ikkalasi ham haqiqiy bo’lib, (2) uning yechimlari bo’ladi. Demak bu holda kubik tenglama bitta 
haqiqiy va ikkita kompleks ildizga ega.
2-hol. Agar
bo’lsin. Bu holda 
bo’ladi va uning yechimlari
bo’ladi. Demak bu holda uchchala ildiz ham haqiqiy bo’lib, bitta ildiz ikki karrali ildizi bo’ladi. 
3-hol. Agar
bo’lsin. Bunda
( ) deb belgilasak, u holda kub ildizlar 
ostida qo’shma kompleks sonlar hosil bo’ladi. 
√
√
Kub ildizdan qutilish uchun
√
kompleks sonni trigonometrik shaklga o’tamiz. 
Bunda
√( 
)
(√
)
√
√ 
√
√ 
(
)
√
(
)
ekanligidan
√
(
)
√
(
) 

---

Telegram : @analysis314 
Demak, 
sonlar bir- biriga qo’shma kompleks sonlar ekan. Bundan esa
√
(
) √
(
)
√
kelib chiqadi. Demak bu holda, kubik tenglamaning uchchala ildizi ham haqiqiy bo’lib, ular turli xil 
bo’ladi. 

Tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yeching. 
1. 
2. 
3. 
4. 
( 
)
5. 
6. 
kubik tenglamalar uchun (
)(
)
(
)
tenglik bajarilishini isbotlang. 
ko’rinishidagi tenglama to’rtinchi darajali tenglama deyiladi. 
Bu tenglamani yechishning 
Ferrari usulini keltirib o’tamiz. Bu usuldan maqsad tenglamaning chap 
tomonini kvadratlar ayirmasi shakliga keltirishdan iborat. Umumiylikka zarar yetkazmagan holda, 
deb olamiz.
Endi tenglamaning chap tomonini quyidagicha yozib olaylik. 
( 
)
( 
)
* 
(
) (
) (
)+ 
Bu yerda 
yordamchi noma’lum bo’lib, ikkinchi qavsdagi ifodani chiziqli ikkihadning kvadrati 
bo’ladigan qilib tanlanadi. bo’lganda, kvadrat tenglamani ikki handing kvadrati shaklida 
tasvirlash mumkin. Demak, ikkinchi qavsni biror handing kvadrati shakliga keltiramiz.
(
)
(
) (
)
Qavslarni ochib 
ga nisbatan quyidagi kubik tenglamaga kelamiz.
( ) (
)
Bu kubik tenglamaning ildizlaridan biri 
bo’lsin. U holda,
(
) (
) (
) ( )
bo’ladi. Berilgan tenglama esa quyidagi ko’rinishga keladi.
( 
)
( )
( 
) ( 
)
Bunda har bir ko’paytmani nolga tenglab tenglama ildizlari topiladi.
 

Tenglamalarni Ferrari usuli yordamida yeching. 
1.
4.
2. 
5.
3. 
Shunga o’xshash qiziqarli ma’lumotlar va masalalar
@analysis314 kanalimizda