Udk 519. 837. 2 Birlik kubdagi sodda differensial o’yinlarda quvish masalasi

2-Teorema. Aytaylik fazodabirlik kubda(6), (7) ko’rinishidagi “quvish-qochish” masalasi qaralayotgan bo’lsin. U holda quvuvchi o’yinni

(8)

vaqt oralig’ida nihoyasiga yetkazadi.Bu yerda l masala shartida berilgan musbat son, - m sonining butun qismi.

Isbot. A)Masalaning shartiga ko’ra qochuvchi-hamda quvuvchilar-vaa uch o’lchamli fazoda Kbirlik kubda harakatlanmoqda, ularning maksimal tezliklari teng. Umumiylikka zarar yetkazmagan holda ikkala quvuvchilar ham o’yin boshidabirlik kubning yoqlarining birida, qo’shni qirralarda joylashgan bo’lsin. Kubning shu yog’idagi qo’shni qirralar kesishgan uchidan, va koordinata o’qlarini joylashtirsak, u holdaquvuvchilar mos ravishda va o’qlarning ustida turgan bo’ladilar. U holda quyidagi a) va b) holatlar ro’y berishi mumkin.

a)tekislikdaquvuvchilar va qochuvchining shu tekislikdagi proyeksiyasining boshlang’ich holati (4) ko’rinishdagi holatda bo’lsin deb olish mumkin.

Ushbu holatda dastlab quvuvchilar birlik kubda harakatlanayotgan qochuvchining shu tekislikdagi proyeksiyasini ustma-ust tushish ma’nosida tutishga harakat qilishadi. Buning uchun quvuvchilar qochuvchining qanday harakat qilishiga qarab 1-teoremada keltirilgan (5) strategiyani qo’llashadi va ma’lum vaqtdan keyin yoki shart bajariladi. Ya’ni l-atrofli quvuvvchilardan biri qochuvchining shu tekislikdagi proyeksiyasini ustma-ust tushish ma’nosida qo’lga tushiradi. Ana shu vaqtda ikkala quvuvchi ham koordinata musbat o’qi yo’nalishi bo’ylab l/4 masofaga bir vaqtda siljiydi.Ushbu siljish mobaynida qochuvchi uning proyeksiyasi bilan ustma-ust tushgan l atrofli quvuvchini (7) ga ko’ra aylanib o’tib keta olmaydi. Endi quvuvchilar tekislikka parallel va bu tekislikdan masofadajoylashgan tekilslikda qochuvchining proyeksiyasini ustma-ust tushish m’nosida tutishga harakat qilishadi. Quvuvchilar bu tekislikka ko’tarilganda quvuvchilar va qochuvchining proyeksiyalarining holati (4) ko’rinishdan farqli ko’rinishdagi holatga kelib qoldi. Quvuvchilarning endigi vazifasi o’zlarining shu tekislikdagi koordinatalari va qochuvchining shu tekislikdagi proyeksiyasining koordinatalarini (4) ko’rinihdagi holatga olib kelishdan iborat bo’ladi. So’ngra yana yuqorigidagidek (5) strategiyani qo’llab qochuvchining proyeksiyasini ustma –ust tushish ma’nosida qo’lga tushirishadi va yana koordinata musbat o’qi yo’nalishi bo’ylab l/4 masofaga siljishadi.Eslatib o’tamiz bu siljishlar mobaynida qochuvchi uning proyeksiyasi bilan ustma-ust tushgan l atrofli quvuvchini aylanib o’tib keta olmaydi. Agar uni aylanib o’tishga harakat qilsn, quvuvchining l atrofiga tushib qoladi va o’yin yakunlanadi. Quvuvchilar bu harakatlarni bir necha bor takrorlashadi va ma’lum vaqtdan keyin siljishlar soni yokiga yetadi. Endi quvuvchilar koordinata musbat o’qi yo’nalishi bo’ylab l/4 masofaga siljishlariga hojat qolmaydi. tekislikka parallel va bu tekislikdan masofadajoylashgan tekilslikka quvuvchilar ko’tarilgandan keyin, endi quvuvchilar qochuvchini proyeksiyasini emas, balki uning o’zini l-tutish ma’nosida quvlaydilar. Bunda ham ularl atrof bilan (5) strategiyani qo’llagan holatda qochuvchini ta’qib qilib borishadi. Va ma’lum vaqtdan keyin quvuvchilar va qochuvchi o’rtasida yoki yoki va shartlardan biri bajariladi va o’yin nihoyasiga yetadi.

b) tekislikda quvuvchilar va qochuvchining shu tekislikdagi proyeksiyasining boshlang’ich holati (4) ko’rinishdagi holatda bo’lmasa, quvuvchilar dastlab qochuvchining shu tekislikdagi proyeksiyasi koordinatasi bilan o’zlarining koordinatalarini (4) ko’rinishdagi holatga keltirib oladilar va quvish jarayonini a) bannddagi kabi amalga oshiradilar.

c) Agar ikkala quvuvchilar ham o’yin boshidabirlik kubning yoqlarining birida, qarama-qarshi qirralarda joylashgan bo’lsa, u holda quvuvchilardan biri ikkinchi quvuvchi turgan qirraga qo’shni bo’lgan qirraga yetib keladi.

d) Agar ikkala quvuvchilar ham o’yin boshidabirlik kubning bitta qirrasida joylashgan bo’lsa, u holda quvuvchilardan biri shu qirraga qo’shni bo’lgan qirraga o’tib oladi.

e) Agar ikkala quvuvchilar o’yin boshidabirlik kubning qo’shni yoqlarida, qo’shni bo’lmagan qirralarda joylashgan bo’lsa, uholda quvuvchilardan biri ikkinchi quvuvchi turgan qirraga qo’shni bo’lgan qirraga yetib keladi.

f) Agar quvuvchilar o’yin boshidabirlik kubning qarama-qarshi yoqlarinda, qarama-qarshi qirralarida joylashgan bo’lsa, u holda ikkala quvuvchilar uchun ham eng yaqin bo’lgan kubning qo’shni qirralariga yetib keladi.

g) Agar o’yin boshidaquvuvchilardan biri yoki ikkalasi ham a)-f) hollardagi kabi kubning qirrasida emas, balki uning yoqlarda joylashgan bo’lsa, u holda ikkala quvuvchi ham ular uchun eng yaqin bo’lgan kubning qo’shni qirralariga yetib keladi.

h) Agar o’yin boshidaquvuvchilardan biri yoki ikkalasi ham kubning ichida joylashgan bo’lsa, u holda quvuvchilar ikkala quvuvchilar uchun ham eng yaqin bo’lgan kubning qo’shni qirralariga yetib keladi.

c)-h) holatlarda ikkala quvuvchi ham qo’shni qirralar ustida bo’lgan holatga kelgach , kubning shu yog’idagi qo’shni qirralar kesishgan uchidan, va koordinata o’qlarini joylashtirsak, u holdaquvuvchilar mos ravishda va o’qlarda turgan bo’ladilar. Endiquvish jarayoni b) banddagi kabi amalga oshiriladi.

Bundan keyingi bandlarda o’yinni tugatish vaqtini baholash bilan shug’ullanamiz.