Umumlashgan funksiya tushunchasi

2-amaliy mashg`ulot. Umumlashgan funksiya tushunchasi. Regulyar va singulyar umumlashgan funksiyalar.

2.1 Umumlashgan funksiya tushunchasi.
Bu darsimizda bizning maqsadimiz umumlashgan funksiyalar haqida tushuncha berish va unga doir misollar keltirishdan iboratdir.
Umumlashgan funksiyalar dastlab fizikaga doir ilmiy ishlarda uchragan. Mashhur fizik P.Dirak delta –funksiyasi deb ataluvchi va quyidagicha ta’riflanuvchi funksiyani kiritgan: butun to’g’ri chiziqda aniqlangan funksiya dan boshqa har bir nuqtada nolga teng va nuqtada esa qiymati cheksiz bo’lib, butun to’g’ri chiziq bo’yicha integrali mavjud va birga teng, ya’ni

va

Umumlashgan funksiyalarning asosiy matematik nazariyasi S.L. Sobolev va L. Shvars tomonidan qo’yilgan.Keyinroq esa umumlashgan funksiya nazariyasi ko’plab matematiklar tomonidan intensiv rivojlantirilgan.
Kvant fizikasi, diffirensial tenglamalar nazariyasi va matematik fizika masalalalari umumlashgan funksiyalarning jadal rivojlanishi va uning ilmiy asoslanishining poydevori bo’ldi.
Ma’lumki, uzluksiz funksiya diffirensiallanuvchi bo’lmasligi mumkin. Birorta ham nuqtada hosilaga ega bo’lmagan uzluksiz funksiyalarni birinchi marta K.Veyershtrass tuzgan. Umumlashgan funksiyalar tushunchasi funksiya tushunchasining shunday kengaytirilishiki, bunda har qanday uzluksiz funksiya diffirensiallanuvchi va uning hosilasi umumlashgan funksiya bo’ladi. Shu bilan bir qatorda har qanday umumlashgan funksiyaning o’zi ham diffirensiallanuvchi bo’lib, uning hosilasi ham umumlashgan funksiya bo’ladi. Hozirgi vaqtda umumlashgan funksiyalar nazariyasi fizikaning ko’p sohalarida qo’llanilishi va matematika faniga qo’llanilishi natijasida fizika matematika va injenerlik sohalarining ilgarilab kelishiga sabab bo’ldi.
Ba’zi belgilashlarni kiritamiz.
R- haqiqiy sonlar to’plami.
C- kompleks sonlar to’plami.
- n o’lchovli evklid fazosi; Bunda fazoning har bir nuqtasi x=( , ,…, ) ko’rinishida bo’lib, uzunligi esa = ko’rinishda bo’ladi.
D( ) orqali n o’zgaruvchili finit va cheksiz diffirensiallanuvchi funksiyalar sinfini belgilaymiz, ya`ni aosiy funksiyalar sinfini.
2.1-ta’rif. Funksiya finit deyiladi, agarda u biror chegaralangan to’plamdan tashqarida nolga teng bo’lsa.
2.2-ta’rif. f: D( ) akslantirish D( ) da funksional deyiladi, bu yerda R- haqiqiy sonlar maydoni.
Shu o’rinda aytib o’tish kerakki, funksionalning funksiyadan farqli tarafi shundan iboratki funksional funksiyani songa akslantiradi funksiya esa sonli to’plamni sonli to’plamga akslantiradi. f funksionalning ) funksiyadagi, qiymati (f, bilan belgilanadi. Ta’rifga asosan (f, haqiqiy son.
2.3-ta’rif. Funksional f: D( ) chiziqli deyiladi, agarda f funksionalda additivlik va bir jinslilik shartlari o’rinli bo’lsa, ya’ni ixtiyoriy ) va lar uchun (f, tenglik o’rinli bo’lsa.
2.1-misol. f: funksionalni chiziqli ekanligini ko’rsatamiz.
Integralning additivlik va bir jinslilik xossalaridan foydalansak quyidagilarga ega bo’lamiz.
)

Demak, funksional chiziqli funksional ekanligi kelib chiqdi.
2.2-misol. Berilgan f: + + funksionalni chiziqlilikka tekshiring.
Yuqoridagi integralni xossasidan foydalangan holda quyidagicha chiziqlilikka tekshiramiz.
( ( +

2.4-ta’rif. Agar barcha va barcha lar uchun bo’lsa, ga qo’shma bir jinsli funksional deyiladi. chiziqli fazo, - kompleks sonlar maydoni.
2.3-misol funksionalni qo’shma chiziqli funksional ekanligini ko’rsatamiz. -kvadratlari bilan integrallanuvchi funksiyalar fazosi.
Integralni assosiy yuqorida keltirilgan xossalaridan foydalangan holda quyidagilarga ega bo’lamiz.


Demak, qo’shma chiziqli funksional ekan.