Univerzitet u novom sadu
e. primeniti metod tetrada (Kartanov metod) za pronalaženje komponenata Rimanovog
Download 4.8 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4.1. Horizonti dogadjaja i singularitet: rotirajuća Crna rupa
|
e. primeniti metod tetrada (Kartanov metod) za pronalaženje komponenata Rimanovog tenzora Na osnovu prethodne diskusije, metrika na koju ćemo primeniti metod ortonormiranih tetrada, opisan detaljno u dodatku D1 je: ݀ݏ ଶ = ݁ ଶఔ ሺ݀ݐ − ݂݀߮ሻ ଶ − ݁ ଶఓ ሺ݀߮ − ݃݀ݐሻ ଶ − ݁ ିଶఔ ݀ݎ ଶ − ݁ ଶఒ ݀ߠ ଶ (3.27) gde su ߥ, ߤ, ߣ, ݂, ݃ funkcije koordinata ݎ i ߠ. Funkcije ݃ i ݁ ଶఒ su poznate, ali ih je poželjno zameniti tek nakon dobijanja komponenata Rimanovog tenzora, radi zadržavanja preglednosti. Držaćemo se sledećih oznaka: ݀ݔ = ݀ݐ ݀ݔ ଵ = ݀߮ ݀ݔ ଶ = ݀ݎ ݀ݔ ଷ = ݀ߠ 36 Ortonormalni bazis 1-formi na osnovu metrike (3.27) jeste: ߱ = ݁ ఔ ሺ݀ݔ − ݂݀ݔ ଵ ሻ ߱ ଵ = ݁ ఓ ሺ݀ݔ ଵ − ݃݀ݔ ሻ ߱ ଶ = ݁ ିఔ ݀ݔ ଶ ߱ ଷ = ݁ ఒ ݀ݔ ଷ pri čemu je ߟ = ߟ = ݀݅ܽ݃ሺ1, −1, −1, −1ሻ koji koristimo za podizanje i spuštanje indeksa. Diferencijali koordinata izraženi preko 1-formi dati su sa: ݀ݔ = ܺሺ݁ ିఔ ߱ + ݂݁ ିఓ ߱ ଵ ሻ ݀ݔ ଵ = ܺሺ݁ ିఓ ߱ ଵ + ݂݁ ିఔ ߱ ሻ ݀ݔ ଶ = ݁ ఔ ߱ ଶ ݀ݔ ଷ = ݁ ିఒ ߱ ଷ gde je ܺ = |ܬ| ିଵ recipročna vrednost Jakobijana transformacije ሺݐ, ߮ሻ → ሺܶ, Φሻ. Sledeći uputstva iz dodatka D1 imamo 21 : ݀߱ = ݀ሺ݁ ఔ ሺ݀ݔ − ݂݀ݔ ଵ ሻሻ = −݁ ఔ ൫ߥ ,ଶ − ݂݃ߥ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ܺ ߱ ∧ ߱ ଶ − ݁ ିఒ ൫ߥ ,ଷ − ݂݃ߥ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ܺ ߱ ∧ ߱ ଷ + ݂ ,ଶ ݁ ଶఔିఓ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଶ + ݂ ,ଷ ݁ ఔିఒିఓ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଵ = ݀ሺ݁ ఓ ሺ݀ݔ ଵ − ݃݀ݔ ሻሻ = ݃ ,ଶ ݁ ఓ ܺ ߱ ∧ ߱ ଶ + ݃ ,ଷ ݁ ఓିఒିఔ ܺ ߱ ∧ ߱ ଷ − ݁ ఔ ൫ߤ ,ଶ − ݂݃ߤ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଶ − ݁ ିఒ ൫ߤ ,ଷ − ݂݃ߤ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଶ = ݀ሺ݁ ିఔ ݀ݔ ଶ ሻ = ߥ ,ଷ ݁ ିఒ ߱ ଶ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଷ = ݀൫݁ ఒ ݀ݔ ଷ ൯ = −ߣ ,ଶ ݁ ఔ ߱ ଷ ∧ ߱ ଶ Na osnovu prve Kartanove jednačine strukture (D1.3) dobijamo 1-forme povezanosti: ߱ ଶ = ݁ ఔ ൫ߥ ,ଶ − ݂݃ߥ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ܺ ߱ − ݂ ,ଶ ݁ ଶఔିఓ ܺ ߱ ଵ ߱ ଷ = ݁ ିఒ ൫ߥ ,ଷ − ݂݃ߥ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ܺ ߱ − ݂ ,ଷ ݁ ఔିఒିఓ ܺ ߱ ଵ 21 Oznake ߤ , , ߥ , , ݃ , , ݂ , i ߣ , stoje za parcijalne izvode ovih funkcija po koordinati ݅ = 2,3. 37 ߱ ଵ ଶ = ݁ ఔ ൫ߤ ,ଶ − ݂݃ߤ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ܺ ߱ ଵ − ݃ ,ଶ ݁ ఓ ܺ ߱ ߱ ଵ ଷ = ݁ ିఒ ൫ߤ ,ଷ − ݂݃ߤ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ܺ ߱ ଵ − ݃ ,ଷ ݁ ఓିఒିఔ ܺ ߱ ߱ ଶ ଷ = −ߥ ,ଷ ݁ ିఒ ߱ ଶ − ߣ ,ଶ ݁ ఔ ߱ ଷ Diferencirajući gornje 1-forme dobijamo: ݀߱ ଶ = ݀൫݁ ఔ ൫ߥ ,ଶ − ݂݃ߥ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ܺ ߱ − ݂ ,ଶ ݁ ଶఔିఓ ܺ ߱ ଵ ൯ = ቄൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଶ ݃ − ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଶ ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఔሻ ൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଷ ݃ − ݁ ିሺఒାఔሻ ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଷ ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଷ + ቄ݁ ఔିఓ ൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଶ − ݁ ఔିఓ ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଶ ݂ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఓሻ ൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଷ − ݁ ିሺఒାఓሻ ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଷ ݂ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଷ = ݀൫݁ ିఒ ൫ߥ ,ଷ − ݂݃ߥ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ܺ ߱ − ݂ ,ଷ ݁ ఔିఒିఓ ܺ ߱ ଵ ൯ = ቄൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଶ ݃ − ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଶ ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఔሻ ൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଷ ݃ − ݁ ିሺఒାఔሻ ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଷ ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଷ + ቄ݁ ఔିఓ ൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଶ − ݁ ఔିఓ ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଶ ݂ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఓሻ ൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଷ − ݁ ିሺఒାఓሻ ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଷ ݂ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଵ ଶ = ݀൫݁ ఔ ൫ߤ ,ଶ − ݂݃ߤ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ܺ ߱ ଵ − ݃ ,ଶ ݁ ఓ ܺ ߱ ൯ = ቄൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଶ − ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଶ ݃ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఔሻ ൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଷ − ݁ ିሺఒାఔሻ ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଷ ݃ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଷ + ቄ݁ ఔିఓ ൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଶ ݂ − ݁ ఔିఓ ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଶ ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఓሻ ൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଷ ݂ − ݁ ିሺఒାఓሻ ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଷ ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଵ ଷ = ݀൫݁ ିఒ ൫ߤ ,ଷ − ݂݃ߤ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ܺ ߱ ଵ − ݃ ,ଷ ݁ ఓିఒିఔ ܺ ߱ ൯ = ቄൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଶ − ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଶ ݃ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఔሻ ൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଷ − ݁ ିሺఒାఔሻ ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଷ ݃ቅ ܺ ߱ ∧ ߱ ଷ + ቄ݁ ఔିఓ ൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଶ ݂ − ݁ ఔିఓ ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଶ ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଶ + ቄ݁ ିሺఒାఓሻ ൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଷ ݂ − ݁ ିሺఒାఓሻ ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଷ ቅ ܺ ߱ ଵ ∧ ߱ ଷ ݀߱ ଶ ଷ = −݀൫ߥ ,ଷ ݁ ିఒ ߱ ଶ + ߣ ,ଶ ݁ ఔ ߱ ଷ ൯ = ቄ൫݁ ఔାఒ ߣ ,ଶ ൯ ,ଶ − ൫݁ ିሺఔାఒሻ ߥ ,ଷ ൯ ,ଷ ቅ ߱ ଷ ∧ ߱ ଶ 38 Na osnovu gornjih veličina i računa šest 2-formi krivina, računajući druge Kartanove jednačine strukture (D1.4) i (D1.5) dobijamo sledeće komponente Rimanovog tenzora u ortonormiranom bazisu: Ω ଵ = ω ଶ ∧ ω ଶ ଵ + ω ଷ ∧ ω ଷ ଵ : ܴ ଵଵ = ݁ ଶఔ ൣܺ൫݂݃ ,ଶ ߤ ,ଶ + ݂݃ ,ଶ ߥ ,ଶ − ݃ ,ଶ ݂ ,ଶ ൯ − ߤ ,ଶ ߥ ,ଶ ൧ + ݁ ିଶఒ ൣܺ൫݂݃ ,ଷ ߤ ,ଷ + ݂݃ ,ଷ ߥ ,ଷ − ݃ ,ଷ ݂ ,ଷ ൯ − ߤ ,ଷ ߥ ,ଷ ൧ Ω ଶ = dω ଶ + ω ଷ ∧ ω ଷ ଶ : ܴ ଶଶ = ቄൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଶ ݃ − ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଶ + ߥ ,ଷ ݁ ିଶఒ ൫ߥ ,ଷ − ݂݃ߥ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ቅ ܺ ܴ ଶଵଶ = ݁ ఔିఓ ቄൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଶ − ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଶ ݂ − ݂ ,ଷ ߥ ,ଷ ݁ ିଶఒ ቅ ܺ ܴ ଶଷ = ݁ ିሺఒାఔሻ ቄൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଷ ݃ − ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଷ + ߣ ,ଶ ݁ ଶఔ ൫ߥ ,ଷ − ݂݃ߥ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ቅ ܺ ܴ ଶଵଷ = ݁ ିሺఒାఓሻ ቄൣ݁ ଶఔ ൫݂ߥ ,ଶ + ݂ ,ଶ ൯൧ ,ଷ − ൫݁ ଶఔ ߥ ,ଶ ൯ ,ଷ ݂ − ݂ ,ଷ ߣ ,ଶ ݁ ଶఔ ቅ ܺ Ω ଷ = ݀߱ ଷ + ω ଶ ∧ ω ଶ ଷ : ܴ ଷଶ = ቄൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଶ ݃ − ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଶ − ߥ ,ଷ ݁ ఔିఒ ൫ߥ ,ଶ − ݂݃ߥ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ቅ ܺ ܴ ଷଵଶ = ݁ ఔିఓ ቄൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଶ − ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଶ ݂ + ݂ ,ଶ ߥ ,ଷ ݁ ఔିఒ ቅ ܺ ܴ ଷଷ = ݁ ିሺఒାఔሻ ቄൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଷ ݃ − ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଷ − ߣ ,ଶ ݁ ଶఔ ൫ߥ ,ଶ − ݂݃ߥ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ቅ ܺ ܴ ଷଵଷ = ݁ ିሺఒାఓሻ ቄൣ݁ ఔିఒ ൫݂ߥ ,ଷ + ݂ ,ଷ ൯൧ ,ଷ − ൫݁ ఔିఒ ߥ ,ଷ ൯ ,ଷ ݂ + ݂ ,ଶ ߣ ,ଶ ݁ ଶఔ ቅ ܺ Ω ଵ ଶ = dω ଵ ଶ + ω ଵ ଷ ∧ ω ଷ ଶ : ܴ ଵ ଶଶ = ቄൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଶ − ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଶ ݃ − ݃ ,ଷ ߥ ,ଷ ݁ ఓିఒିఔ ቅ ܺ ܴ ଵ ଶଵଶ = ݁ ఔିఓ ቄൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଶ ݂ − ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଶ + ߥ ,ଷ ݁ ఓିఔିଶఒ ൫ߤ ,ଷ − ݂݃ߤ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ቅ ܺ ܴ ଵ ଶଷ = ݁ ିሺఒାఔሻ ቄൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଷ − ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଷ ݃ − ݃ ,ଷ ߣ ,ଶ ݁ ఔାఓ ቅ ܺ ܴ ଵ ଶଵଷ = ݁ ିሺఓାఔሻ ቄൣ݁ ఔାఓ ൫݃ߤ ,ଶ + ݃ ,ଶ ൯൧ ,ଷ ݂ − ൫݁ ఔାఓ ߤ ,ଶ ൯ ,ଷ + ߣ ,ଶ ݁ ଶఔ ൫ߤ ,ଷ − ݂݃ߤ ,ଷ − ݂݃ ,ଷ ൯ቅ ܺ 39 Ω ଵ ଷ = dω ଵ ଷ + ω ଵ ଶ ∧ ω ଶ ଷ : ܴ ଵ ଷଶ = ቄൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଶ − ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଶ ݃ + ݃ ,ଶ ߥ ,ଷ ݁ ఓିఒ ቅ ܺ ܴ ଵ ଷଵଶ = ݁ ఔିఓ ቄൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଶ ݂ − ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଶ − ߥ ,ଷ ݁ ఓିఒ ൫ߤ ,ଶ − ݂݃ߤ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ቅ ܺ ܴ ଵ ଷଷ = ݁ ିሺఒାఔሻ ቄൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଷ − ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଷ ݃ + ݃ ,ଶ ߣ ,ଶ ݁ ఓାఒ ቅ ܺ ܴ ଵ ଷଵଷ = ݁ ିሺఒାఓሻ ቄൣ݁ ఓିఒ ൫݃ߤ ,ଷ + ݃ ,ଷ ൯൧ ,ଷ ݂ − ൫݁ ఓିఒ ߤ ,ଷ ൯ ,ଷ − ߣ ,ଶ ݁ ଶఔାఒାఓ ൫ߤ ,ଶ − ݂݃ߤ ,ଶ − ݂݃ ,ଶ ൯ൟܺ Ω ଶ ଷ = dω ଶ ଷ + ω ଶ ∧ ω ଷ + ω ଶ ଵ ∧ ω ଵ ଷ : ܴ ଶ ଷଶଷ = −݁ ఔିఒ ൜ቂ݁ ఔ ൫݁ ఒ ൯ ,ଶ ቃ ,ଶ + ൣ݁ ିఒ ሺ݁ ఔ ሻ ,ଷ ൧ ,ଷ ൠ ܴ ଶ ଷଵ = ݁ ఓିఒ ൛൫݃ ,ଶ ߤ ,ଷ − ݃ ,ଶ ߤ ,ଷ ൯ + ݁ ଶఔ ൫݂ ,ଷ ߥ ,ଶ − ݂ ,ଶ ߥ ,ଷ ൯ൟܺ Primetimo da ima 19 komponenti različitih od nule, pri čemu na osnovu osobina simetrija (D1.6) postoje izvesne veze medju njima koje mogu biti od koristi. Na primer: Jakobijev identitet (1.8) nam daje vezu: ܴ ଵଶଷ + ܴ ଶଷଵ + ܴ ଷଵଶ = 0 Komponentu ܴ ଷଵଶ imamo, a ostale možemo izvesti na osnovu ܴ ଶଵଷ i ܴ ଶ ଷଵ i (D1.6): ܴ ଶଵଷ = ߟ ܴ ଶଵଷ = −ߟ ܴ ଶଷଵ = −ܴ ଶଷଵ ܴ ଶ ଷଵ = ߟ ଶଶ ܴ ଶଷଵ = ߟ ଶଶ ܴ ଵଶଷ = ߟ ଶଶ ߟ ܴ ଵଶଷ = −ܴ ଵଶଷ Stoga bez rešavanja Ajnštajnovih jednačina već imamo jednu jednačinu: −ܴ ଶ ଷଵ − ܴ ଶଵଷ + ܴ ଷଵଶ = 0 Slično možemo uspostaviti vezu izmedju ܴ ଶଵଶ i ܴ ଵ ଶଶ : ܴ ଶଵଶ = ߟ ܴ ଶଵଶ = ߟ ܴ ଵଶଶ = ߟ ߟ ଵଵ ܴ ଵ ଶଶ = −ܴ ଵ ଶଶ i izmedju ܴ ଵ ଶଵଷ i ܴ ଵ ଷଵଶ : 40 ܴ ଵ ଶଵଷ = ߟ ଵଵ ܴ ଵଶଵଷ = ߟ ଵଵ ܴ ଵଷଵଶ = ߟ ଵଵ ߟ ଵଵ ܴ ଵ ଷଵଶ = ܴ ଵ ଷଵଶ Ove veze, kao i Jakobijev identitet nam ne moraju obavezno služiti. Izrazi su isuviše komplikovani da bi se bez iscrpne i detaljne analize jednačina mogla ustanoviti neka uprošćenja. Ostale relacije dobijamo izračunavajući Ričijev tenzor i rešavajući Ajnštajnove jednačine za vakuum (1.13). f. rešiti Ajnštajnove jednačine za vakuum Deo traganja za rešenjem Ajnštajnovih jednačina ovim putem koji se odnosi na rešavanje jednačina (1.13) je što se tiče računa najteži. U suštini, rešavanje ovih jednačina se svodi na rešavanje nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina drugog reda po dve promenljive. Medjutim, u odnosu na rešavanje po Čandrasekaru, problem je ovde u neku ruku uprošćen. To je zbog toga što smo drugačijim rezonom došli do zaključka da bi rešenje za kojim tragamo trebalo da očuvava elipsoidnu simetriju, te nam je, u skladu sa kalibracionom slobodom, jedna funkcija u celini poznata, a to je ݃ ଷଷ = ݁ ଶఒ = ݎ ଶ + ܽ ଶ cos ଶ ߠ. Takodje, nametnuli smo takvu metričku formu da nam u računu može pomoći i poznavanje funkcije ݃ = ܽ/ሺݎ ଶ + ܽ ଶ ሻ, koja, vidimo, ne zavisi od koordinate ߠ = ݔ ଷ , stoga su svi izvodi funkcije ݃ po ovoj koordinati jednaki nuli, što u neku ruku dosta uprošćava jednačine. Birajući takvu funkciju ݃ da nam se za ܯ = 0 metrika svede na metriku ravnog prostor-vremena u elipsoidnim koordinatama u formi (3.23) i uočavajući istu vezu izmedju odgovarajućih koeficijenata u toj metrici kao u Švarcšildovoj metrici (Tabela 1), eliminisali smo jednu funkciju već na početku, zbog čega su jednačine od početka uprošćene. Dalje, mogu se iskoristiti i zahtevi (3.26) da bi se pretpostavio oblik funkcija za kojima tragamo, zbog čega smo i postavili takve zahteve. Na primer, bez ikakvih ograničenja, funkciju ܩ = ݁ ଶఔ možemo napisati kao količnik dve funkcije, jer su odgovrajuće funkcije takvog oblika i u Švarcšildovoj i u metrici ravnog prostor-vremena u elipsoidnim koordinatama (Tabela 1 na strani 26), na koje zahtevamo da se naše rešenje svede pri ܽ = 0 i ܯ = 0, redom. Na osnovu (1.13), konačno imamo sledeće jednačine: ܴ = ܴ ଵ ଵ + ܴ ଶ ଶ + ܴ ଷ ଷ = −ሺܴ ଵଵ + ܴ ଶଶ + ܴ ଷଷ ሻ = 0 ܴ ଵଵ = ܴ ଵଵ + ܴ ଶ ଵଶଵ + ܴ ଷ ଵଷଵ = 0 ܴ ଶଶ = ܴ ଶଶ + ܴ ଵ ଶଵଶ + ܴ ଷ ଶଷଶ = ܴ ଶଶ + ܴ ଵ ଶଵଶ + ܴ ଶ ଷଶଷ = 0 ܴ ଷଷ = ܴ ଷଷ + ܴ ଵ ଷଵଷ + ܴ ଶ ଷଶଷ = 0 ܴ ଵ = ܴ ଶଵଶ + ܴ ଷଵଷ = 0 ܴ ଶଷ = ܴ ଶଷ + ܴ ଵ ଶଵଷ = 0 41 Nakon identifikacija: ݁ ଶఔ = ܩ ݁ ଶఓ = ܩ ଵଵ ݁ ଶఒ = ݎ ଶ + ܽ ଶ cos ଶ ߠ ݃ = ܽ ݎ ଶ + ܽ ଶ prethodnih šest jednačina bi trebalo da bude dovoljno za rešavanje metrike prostor-vremena rotirajućeg objekta, tj. Kerove metrike. Bez obzira na to, na ovom mestu stajemo sa rešavanjem. Sprovedeno do kraja, rešenje bi trebalo da bude metrička forma (3.15). 42 4. Priroda Kerovog rešenja Kerova metrika predvijda objekte koji su jedinstveni po tome što su u Prirodi jedini koji su zaista lepi isto onoliko koliko i samo rešenje koje ih predvija. U ovom poglavlju ćemo se suočiti sa smislom Kerovog rešenja i dati odgovore na pitanja poput: Šta opisuje Kerovo rešenje (kakav rotirajući objekat)? Koje su karakteristike Kerovog prostor-vremena? Kakve su putanje tela u Kerovom prostor-vremenu? Odgovori na ova pitanja kriju se u samim komponentama metričkog tenzora. 4.1. Horizonti dogadjaja i singularitet: rotirajuća Crna rupa Isto kao što u Švarcšildovom rešenju postoji vrednost koordinate ݎ koja proizvodi koordinatni singularitet, i kod Kerovog resenja se nešto slično pojavljuje. Naime, koeficijent ݃ ଶଶ = ݃ u formi (3.5) ima beskonačnu vrednost kada je ∆= ݎ ଶ − 2ܯݎ + ܽ ଶ = 0 Ovo je kvadratna jednačina i njena rešenja su: ݎ ା = ܯ + ඥܯ ଶ − ܽ ଶ (4.1a) ݎ ି = ܯ − ඥܯ ଶ − ܽ ଶ (4.1b) Ovi singulariteti su prividni i mogu se otkloniti pogodnom transformacijom koordinata. Analogno Švarcšildovom rešenju, vidimo da i ovde postoji horizont dogadjaja, samo što ih ovde ima dva. Za ܽ = 0 vidimo da se oni poklapaju i svode na Švarcšildov radijus, što se i očekuje. Medjutim, za razliku od Švarcšildovog rešenja, ovde je ݃ različit od nule na bilo kom od dva horizonta (4.1a) i (4.1b). Ipak, postoji rastojanje na kome je ݃ = 0. Ono definiše statičke granične površi i dato je kao rešenje pomenute jednačine: ݎ ଶ − 2ܯݎ + ܽ ଶ cos ଶ ߠ = 0 odakle se kao rešenja dobijaju poluprečnici pomenutih površi: ݎ ା ௦ = ܯ + ඥܯ ଶ − ܽ ଶ cos ଶ ߠ (4.2a) ݎ ି ௦ = ܯ − ඥܯ ଶ − ܽ ଶ cos ଶ ߠ (4.2b) Sva ova rastojanja zavise od ugaonog momenta po jedinici mase ܽ, koje se nalazi pod korenom. Da bi vrednost ovih rastojanja bila realna, podkorena veličina mora biti nenegativna, što znači da mora važiti da je ܽ < ܯ, odakle sledi da je ܽ = ܯ maksimalno moguća vrednost 43 ugaonog momenta. Ovaj slučaj se naziva ekstremno Kerovo rešenje i biće korišćen često u daljem izlaganju. Prodiskutujmo sada značenje rastojanja (4.1a), (4.1a), (4.2a) i (4.2b). Rastojanje (4.2a) naziva se statički limit i on predstavlja granicu oblasti koja se naziva ergosfera i unutar koje sva tela nužno rotiraju oko objekta mase ܯ, čak i kada im je ugaona brzina u sopstvenom referentnom sistemu jednaka nuli. Ovo znači da sam prostor oko ovog objekta rotira, kao da ga on povlači za sobom svojom rotacijom, o čemu će detaljnije biti reči u narednom odeljku. Sledeće rastojanje jeste ono koje odgovara ݎ ା , tj. spoljašnji horizont dogadjaja dat sa (4.1a). Na Slici 2 je dat grafik zavisnosti funkcije ∆ሺݎሻ, odakle se vidi da je ona negativna izmedju dva horizonta ݎ ା i ݎ ି , a izvan ovog intervala pozitivna. Sad, ako neko telo slobodno pada u gravitacionom polju radijalno i prelazi horizont dogadjaja ݎ ା u oblast gde je ∆ሺݎሻ negativno, na osnovu metrike (3.5) se vidi da je koeficijent ݃ < 0, a ݃ ଶଶ > 0. Ovo znači da rastojanje izmedju dve tačke postaje vremenskog tipa, a vremenski interval postaje prostornog tipa. Drugim rečima, kao što je to bio slučaj sa Švarcšildovom metrikom, tela koja jednom predju horizont dogadjaja ݎ ା , ne mogu se vratiti izvan njega, čak ni svetlost, jer unutar spoljašnjeg horizonta dogadjaja svaka putanja u prostor-vremenu je takva da se rastojanje ݎ uvek smanjuje i nijedna vremenska putanja ne vodi izvan horizonta dogajdaja. Ovo se može protumačiti kao da su prostor i vreme podelili svoje osobine medjusobno – kao što vreme teče samo od prošlosti ka budućnosti, tako je sada kretanje u prostoru moguće samo u jednom smeru – od veće ka manjoj vrednosti ݎ. Stoga objekat koji opisuje Kerova metrika predstavlja isti objekat koji opisuje Švarcšildova metrika, ali koji rotira – Kerova metrika opisuje prostor-vreme rotirajuće Crne rupe. Sledeće karakteristično rastojanje na koje nailazi telo koje upada u rotirajuću Crnu rupu jeste unutrašnji horizont dogadjaja (4.1b). Ovaj horizont dogadjaja je neizbežan za ona tela koja jednom predju spoljašnji horizont dogadjaja iz razloga koje smo gore naveli. Medjutim, prelaskom unutrašnjeg horizonta dogadjaja (zanemarićemo činjenicu da je prostor-vreme toliko zakrivljeno i plimske sile toliko jake da bi se i atomi raspali), funkcija ∆ሺݎሻ postaje opet pozitivna, kao što se sa Slike 2 može videti. Ovo znači da je vremenski interval opet vremenskog tipa, a prostorni interval (rastojanje) prostornog tipa, kao i izvan Crne rupe. Drugim rečima, u Download 4.8 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|