Ushbu kurs ishim "Ostrogradskiy formulasi tatbiqlari" mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, ko‘pgina ma’lumotlar keltirilgan

potensiali deb ataladi. Berilgan holda:

yangi birlik massani ko’chirish natijasida bajarilgan ish oxirgi va boshlang’ich nuqtalardagi potensial qiymatlarning ayirmasiga teng.


Fazoda yopiq sirt bilan chegaralanganva tekislikdagi ikki o’lchovli D to’g’ri sohaga proeksiyalanuvchi to’g’ri uch o’lchovli V soha berilgan bo’lsin. Biz sirtni uchta qismga bo’lish mumkin va ulardan oldingi ikkitasining tenglamasi

ko’rinisida bo’ladi deb faraz etamiz, bunda funksiyalar D sohada uzluksiz. Uchinchi qism esa yasovchisi o’qqa parallel bo’lgan silindirik sirtdir.
Quydagi

integralni qaraymiz. Integrallashni avval bo’yicha bajaramiz:


Sirt normalida aniq yo’nalishi, ya’ni yo’nalishi sirtning tashqi normali bilan bir xil yo’nalishni tanlab olamiz. U vaqtda funksiya sirtda musbat, sirtda esa manfiy bo’ladi; sirtda u nolga teng bo’ladi.
(17) tenglikning o’ng tamonidagi ikki o’lchovli integrallar sirt bo’yicha olingan mos integralga teng:


So’ngi integralda yozdik, chunki sirtlarning elimentlari va D soha yuzining elimenti, o’tmas burchak bo’lgani uchun
munosabat bilan bog’langan.
Shunday qilib,

( ’) va ( ’’) tengliklarni ( ) tenglikka qo’ysak:



Keyin keladigan formulalarni yozish oson bo’lishi uchun ( sirtda tenglik bajarilganligi uchun
tenglikni qo’shib) oxirgi tenglikni quydagicha yozamiz:


Lekin, so’ngi tenglikning o’ng tamonidagi integrallar yig’indisi butun yopiq sirt bo’yicha olingan integraldir: shuning uchun

Shuning singari


munosabatlarni hosil qilish mumkin.
Keyingi uchala tenglikni hadlab qo’shsak, Ostrogradskiy formulasi hosil bo’ladi:



ifoda vektorining divergensiyasi (yoki vektor funksiyaning divergensiyasi) deb ataladi va divF simvol bilan belgilanadi:

Bu formulani shu paragrafning boshida ko’rsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi sohalarga bo’linadigan har qanday soha uchun ham to’g’ri ekanligini ham eslatib o’tamiz.
Hosil qilingan formulaning gidromexanik ma’nosini beramiz.

vector Vsohadan oqib o’tuvchi suyuqlikning tezlik vektori bo’lsin. U holda sirt bo’yicha olingan ( ) formuladagi integral, tashqi normaldagi vektor proeksiyasining integrali bo’ladi: bu V sohadan sirt orqali vaqt birligi ichida oqib chiquvchi (bu integral manfiy bo’lsa, V sohaga quyuvchi) suyuqlikning miqdorini beradi. Bu miqdor ning uch o’lchovli integrali bilan ifodalanadi.
Agar bo’lsa, u vaqtda istalgan yopiq sirt bo’yicha olingan ikki o’lchovli integral nolga teng, ya’ni istalgan yopiq sirt orqali oqib chiquvchi (yoki quyuvchi) suyuqlik miqdori nolga teng bo’ladi. Aniqroq qilib aytganda, sohaga quyuvchi suyuqlik miqdori shu sohadan oqib chiquvchi suyuqlik miqdoriga tengdir.
Ostrogradskiy formulasi vektor shakilda

ko’rinishida bo’ladi va bunday o’qiladi: biror hajm bo’yicha yoyilgan F vektor maydonning divergensiyasidan olingan integral berilgan hajmni chegaralovchi sirt orqali o’tadigan vektor oqimga teng.
Misol: Ostrogradskiy formulsi yordamida quydagi integrallar hisoblansin:

bunda S- ushbu elipsoidning sirti.
Yechish:




D- bo’laklari silliq S sirt bilan chegaralangan Eⁿ fazodagi soha bo’lib, va funksiyalar sinfga tegishli bo’lsin.
D soha bo’yicha quydagi


ayniyatlarni integrallab va Gauss-Ostragradskiy formulasini qo’llab,


formulalarni hosil qilamiz, bunda ga o’tkazilgan tashqi normal ( ) ni Grinning birinchi, ( ) ni esa ikkinchi formulasi deb yuritiladi. Agar va funksiyalar D da garmonik bo’lsa, u holda ( ) va ( ) formulalar quydagi ko’rinishga ega bo’ladi:


( ) va ( ) formulalarga asosan garmonik funksiyalarning qator sodda xossalari kelib chiqadi.
1) Agar D sohada garmonik bo’lgan funksiya da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lib, D sohaning chegarasi S da nolga teng bo’lsa, u holda barcha lar uchun bo’ladi (garmonik funksiyaning yagonalik xossasi).
Agar (3) tenglikda desak, undan bu xossa darrov kelib chiqadi. Haqiqatdan, da bo’lgani uchun ( ) dan

yoki

tenglik kelib chiqadi.
Demak, lar uchun Bundan bo’lgani sababli, yopiq sohada ning uzluksizligidan barcha lar uchun
2) Agar D sohada garmonik, da birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasi D ning chegarasi S da nolga deng bo’lsa, barcha nuqtalar uchun bo’ladi.
Bu xossa barcha lar uchun bo’lgani sababli, ( ) tenglikdan darhol kelib chiqadi.
3) D sohada garmonik, da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasidan S bo’yicha olingan integral nolga teng.
Haqiqatan, ( ) formula desak,

hosil bo’ladi.
XULOSA
Kurs ishim Ostrogradskiy formulasi tatbiqlari deb nomlanadi.Bu kurs ishimni yoritish uchun quyidagi bo`limlardan foydalandim, bular: Sirt integrali,Sirt integralini hisoblash,Stoks formulasi, Ostrogradskiy formulasi, va Grin formulalaridan iborat.
Birinchi bo’limda Sirt integraliga doir chizmalar va teoremalar o’z izohi bilan o’rin olgan.
Ikkinchi bo’limda Sirt integralini hisoblash haqidagi ma’lumotlar va teoremalar, chizma hamda misollarkeltirib o’tilgan.
Uchinchi bo’limda esa Stoks formulasiga doir ma’lumotlar va ta’riflar keltirilgan.
To’rtinchi bo’limda esa kurs ishining asosi bo’lmish Ostrogradskiy formulasi izohi va isboti bilan keltirib o’tilgan.
Beshinchi bo’limda Ostrogradskiy formulasining xususiy holi bo’lgan sirt integrallariga doir Grin formulasi o’z izohi bilan keltirib o’tilgan.
Taqrizga taqdim etilgan talaba “Ostragradskiy formulasi tatbiqlari” mavzusini o‘rganishga bag‘ishlangan. Kurs ishining kirish qismida ishning dolzarbligi va ahamiyati ko‘rilgan. Ushbu kurs ishi reja asosida adabiyotlardan foydalanilgan holda tahlil qilib chiqilgan va grammatik xatolarsiz yozilgan. Ish yakunida muallif tomonidan aniq xulosalar keltirilgan bo‘lib, ular olib borilgan aniq tahlillar natijasidir.
Talaba “Ostragradskiy formulasi tatbiqlari” mavzusidagi kurs ishi Oliy va O`rta maxsus ta’lim vazirligi tomonidan kurs ishini bajarishga qo`yilgan talablarga to`la javob beradi hisoblayman.
Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy- tadqiqotlarni rivojlantirish chora- tadbirlari to‘g‘risida prezident qarorlari qabul qilindi. Shunga ko‘ra hozirda har bir sohada va hatto bog‘cha yoshidagi bolalarda ham matematik ongni rivojlantirishga katta e’tibor qaratilmoqda.
Ushbu kurs ishim “Ostrogradskiy formulasi tatbiqlari” mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, ko‘pgina ma’lumotlar keltirilgan.
Ushbu “Ostrogradskiy formulasi tatbiqlari” mavzusi orqali sirt integrallari haqida ko‘plab tushunchalarga ega bo‘lish mumkin. Mavzu orqali sirt integrallarining hisoblash formulalari bilan tanishish mumkin. Sirt integrallarida duch keladigan qiyinchiliklarni ham ko‘rib chiqish mumkin. Sirt integrallarni hisoblashni uni mavzu bo‘yicha keltirilgan teorema va ta’riflar orqali hal qilish mumkin.