Amalari mavzu re

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM

VAZIRLIGI

SAMARQAND DAVLAT ARXITEKTURA – QURILISH INSTITUTI

«OLIY MATEMATIKA VA FIZIKA » kafedrasi

Mavzu: « To’la differensialli tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari»

Samarqand 2016 y.

MAVZU: TO’LA DIFFERENSIALLI TENGLAMALAR. LAGRANJ VA

KLERO TENGLAMALARI

Mavzu rejasi: 1. Bernulli tenglamasi.
2. To’la differensialli tenglama. 3. Klero va Lagranj tenglamalari.

1.Bernulli tenglamasi Bernulli tenglamasi deb,

_dx p(x)y Q(x)yⁿ ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda P(x) va

(1)

Q(x)- xning uzluksiz

funksiyalari n 0 va n 1 (aks holda chiziqli tenglama hosil bo’lar edi). Bu tenglamani chiziqli tenglamaga keltirish uchun uni barcha hadlarini yⁿ ga

hadma-had bo’lamiz

Endi

y^n _dx Py^n1 Q (2)

z y^n1 (3)

almashtirishni bajaramiz U holad (4) tenglama hosil bo’ladi.

_{1n dx} Pz 0 (4)
(4) va(3) larni (2) ga qo’ysak, z va xga nisbatan chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
^dz (n1)Pz (n1)Q (5)

Buning umumiy integralini topib, z o’rniga ifodani y^n1 qo’yib, Bernulli tenglamasi integralini quyidagicha topamiz.
_dx (1n)Pz (1n)Q (5`) P(x) (1n)P(x), Q (x) (1n)Q(x).
^{z e}^P (x)dx_^{Q (x)e}P (x)dx^{dx C}_^{formulaga asosan hamda (3)ni e’tiborga olsak, y}1n ^e^(1n)P(x)dx_^{(1n)Q(x)e}(1n)P(x)dx^{dx C}_ ⁽⁶⁾
Bernulli tenglamasining umumiy integralini topish formulasi bo’ladi.
1-misol: _dx xy x³y³ tenglamani yeching.

Yechish: Tenglamani hamma hadlarini y³ ga bo’lamiz, y^3y^xy^2 x³ (a)

tenglama hosil bo’ladi. Bunda z y^2 almashtirish olsak _dx 2y^3 _dx bo’ladi. Buni (a) tenglamaga qo’yib, ^dz 2xz 2x³ (b) ni hosil qilamiz. (b) tenglamani

umumiy integralini y uv ^dz u ^dv v ^du , z va ^dz ning ifodalarini (b)

tenglamaga qo’ysak, u _dx v _dx 2xuv 2x³ yoki u_dx 2xv_v _dx 2x³ .

Bundan ^dv 2xv 0 dan ^dv 2xdx  lnv x² 

e^x2 _dx 2x² tenglamani hosil qilamiz.


v e^x2 . u ni aniqlash uchun

O’zgaruvchilarni ajratib

^{du 2e}x2 ^x3^{dx u 2}^ex2 ^x3^{dx C ni bo’laklab integrallab, u x}2^ex2 ^ex2 ^{C ,} z uv x² 1Ce^x2 ekanligini topamiz. Demak, berilgan tenglamani umumiy
integrali y^2 x² 1Ce^x2 yoki



_y2 x² 1Ce^x2 , n 3, P x, Q x³ . Bularni (6)ga qo’ysak, y^2 e^2xdx^(2)x³e^2xdxdx C^,
y^2 e^x2 _x³e^x2 dxC, y^2 e^x2 (x³e^x2 e^x2 C) yoki _y2 x² 1Ce^x2 berilgan Bernulli tenglamasini umumiy integrali bo’ladi.

2.To’la differensialli tenglama

Ta’rif: Agar
M(x,y)dxN(x,y) 0 (1) tenglamada M(x,y) va N(x,y) funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,

bular uchun


M N y x

(2)

munosibat bajarilsa (1) tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi. Bunda ^M va ^N funksiyalar biror sohada uzluksiz funksiyalardir. Agar (1)

tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa (1) tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa, (1) tenglamaning chap tomoni biror u(x,y) funksiyaning to’la bo’lishini isbotlaymiz, ya’ni (1) tenglamani ko’rinishi

du(x,y) 0 (3) bo’ladi, demak uning umumiy integrali u(x,y) C bo’ladi.

x


Dastlab, (1) tenglamaning chap tomonini biror u(x,y) funksiyaning to’la

differensiyali deb faraz qilamiz, ya’ni M(x,y)dx N(x,y)dy du _x dx _y dy. U holda
M _x , N _y (4)
ni birinchisini y bo’yicha, ikkinchisini x bo’yicha xususiy hosilalarini topamiz.

,




M ²u N ² y xy x yx
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini uzluksiz deb faraz qilsak, _y _x bo’ladi, ya’ni (2) tenglik (1) tenglamaning chap tomoni biror u(x,y) funksiyaning to’la differensiali bo’lishining zaruriy shartidan biridir. Bu shartning yetarli shart bo’lishi, ya’ni (2) tenglik bajarilganda (1) tenglamaning chap tomoni biror
u(x,y) funksiyaning to’la differensiyali bo’lishini ko’rsatamiz. _x M(x,y)


_x
^{munosabatdan u }^{M(x,y)dx (y)ni topamiz, bunda x0 -mavjud bo’lgan} x₀
sohadagi ixtiyoriy nuqtaning abssissasi. x bo’yicha integrallashda y ni o’zgarmas deb hisoblaymiz va shuning uchun integrallashda hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmas y ga bog’liq bo’lishi mumkin. y ni (4) munosabatlardan ikkinchisi bajariladigan qilib tanlab olamiz. Buning uchun keyingi tenglikni ikkala tomonini y bo’yicha differensiallab natijani M(x,y) ga tenglasak:

_y ^_y ^{dx (y) N(x,y), ammo,} 0
M N y x

bo’lgani uchun quyidagini

x

x
^yozamiz _x ^{dx (y) N(x,y) dan N(x,y)}x₀ ^{(y) N(x,y) yoki} 0
N(x,y)N(x₀,y)^(y) N(x,y)


_x

1
^{Demak, (y) N(x0,y0) yoki (y) }^{N(x,y)dy C . Shunday qilib, u(x,y)} x<sub>0


x</sub> x

1
^{funksiya u(x,y) }^{M(x,y)dx }^{N(x,y)dy C ko’rinishda bo’ladi. Bunda P(x0,y0)} x₀ x₀
shunday nuqtani, uning biror atrofida (1) tenglamaning yechimi mavjud. Bu ifodani ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorda tanlab, (1) tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz.


_x x
^{M(x,y)dx }^{N(x0,y)dy C} x₀ x₀
Xuddi shunga o’xshash


_x x
^{M(x,y0)dx }^{N(x,y)dy C (6)} x₀ x₀

N 
bo’ladi.
2-misol: ^2x dx ^y2 ^3x2 dy 0 tenglamani umumiy integralini toping.

Yechish: Bu yerda M ^2x , N ^y2 ^3x2 ( y 0) deb olamiz, u holda


,
M 6x N 6x y y⁴ x y⁴

Demak, (2) shart bajariladi. U holda tenglamani chap

u(x,y)funksiyaning to’la differensiyali bo’ladi. Bu funksiyani topamiz:
tomoni du 2x


dx y³

2
^{bo’lagani uchun u }^{2x dx (y) x}3 ^{(y), bunda (y) funksiya y ning}

noma’lum funksiyasi. Buni y bo’yicha differensiallab va

u y² 3x² y y⁴

ekanligini e’tiborga olib, ^3x2 ^(y) ^y2^3x2 bo’lishini topamiz. Demak,

^(y) _y2 ,
2

1

1
(y) _y C , u(x,y) _y3 _y C .

Shunday qilib, dastlabki tenglamaning umumiy integrali

2
_y3 _y C

yoki

x² y² Cy³ bo’ladi.