Amalari mavzu re

3.Integrallovchi ko’paytuvchi

Bizga

M(x,y)dxN(x,y)dy 0 (1)

tenglama berilgan bo’lsin differensiyali bo’lmasin. U
va uning chap tomoni biror funksiyali to’la holda, ba’zan, shunday (x,y) funksiyani tanlab

olish mumkin bo’ladiki, tenglamaning barcha hadlarini shu ko’paytuvchiga ko’paytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’la differensialini beradi. Shu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi dastlabki tenglamani umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi. (x,y) funksiya (1)

tenglamaning integrallovchi ko’paytiruvchisi deyiladi. ko’paytuvchini topish uchun hozircha bizga noma’lum bo’lgan har ikkala tomonini ko’paytiramiz:
MdxNdy 0.
Integrallovchi (x,y)ga (1)ni

(2)

(2) tenglama to’la differensialli tenglama bajarilishi zarur va yetarlidir

,


(M) (N)
y x
bo’lishi uchun quyidagi tenglik

(3)

ya’ni _y M _x _x N _x yoki



M _y N _x _x _{y }. (4) Bu tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib,
M ^_y^N ^_x^_x _y (5) tenglik hosil qilamiz. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday (x,y) funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. (5) tenglama ikkita x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan noma’lum funksiyaga nisbatan xususiy hosilali tenglamadir. Ma’lum shartlar bajarilganda bu tenglamani yechimlari cheksiz ko’p ekanini va (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanligini isbotlaymiz. Ammo, umumiy holda (5) tenglamaning integralovchi ko’paytuvchisi (x,y)ni topish (1) tenglamani integrallashga nisbatan qiyinroq. Faqat ba’zi xususiy hollardagina (x,y) topish mumkin. Masalan, (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat y ga


N M bog’liq bo’lsin. Bu holda ^ln0 va ni topish uchun ^_y^^x _M ^y oddiy differensial tenglama hosil bo’ladi: bunda (bitta kvadratura bilan) lnaniqlanib


N M


undan topiladi. Bunday ish ko’rish ^x _M ^y ifoda xga bog’liq bo’lmagan N M
holdagina qo’llaniladi. Shunga o’xshash, agar ^x _N ^y ifoda y ga bog’liq bo’lmasdan, faqat xga bog’liq bo’lsa, u holda faqat xga bog’liq bo’lmagani integrallovchi ko’paytuvchi oson topiladi.