Uzluksiz funksiyalarning global xossalari Reja: 1

2-teorema. (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiya o’zining aniq quyi va aniq yuqori chegarasiga erishadi, ya’ni

, (7)

(8)

Isbot. Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko’ra funksiya segmentda chegaralangan. Shuning uchun bu funksiyaning aniq yuqori chegarasi va aniq quyi chegarasi mavjud

(7) tenglikni isbotlaylik. bo’lsin. Faraz qilaylik, funksiya aniq yuqori chegarasiga erishmasin, ya’ni segmentning barcha nuqtalarida dan qat’iy kichik qiymat qabul qilsin. U holda

funksiya segmentda uzluksiz va qat’iy musbat funksiya bo’ladi Veyershtrassning birinchi teoremasiga asosan bu funksiya segmentda chegaralangan b’ladi, ya’ni

(9)

shart bajariladi. funksiya qat’iy musbat funksiya bo’lganligi uchun (9) dan

(10)

tasdiqni olamiz. (10) tengsizlik sonining funksiya uchun aniq yuqori chegara bo’la olmasligini ko’rsatadi.Bu qarama-qarshilik funksiya o’zining aniq yuqori chegarasiga erisha olmaydi degan farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi. Demak, (7) munosabat o’rinli ekan. (8) tenglik ham shunga o’xshash isbotlanadi.

2-Izoh. segmentda uzluksiz funksiya o’zining aniq yuqori va aniq quyi chegaralariga erishganligi uchun, aniq yuqori chegarani funksiyaning maksimal qiymati, aniq quyi chegarani funksiyaning minimal qiymati deb ataymiz. Veyershtrassning .ikkinchi teoremasini bu mulohazalardan keyin quyidagicha ham ifodalash mumkin

2-teorema. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’sa, u holda bu funksiya maksimal va minimal qiymatlarga ega bo’ladi.

funksiyaning segmentdagi maksimal va minimal qiymatlari mos ravishda kabi belgilanadi.