Uzluksiz funksiyalarning global xossalari Reja: 1

2. Funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teoremalar.

3-teorema. (Funksiyaning nollari haqidagi Koshi teoremasi)

Agar funksiya kesmada uzluksiz va uning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, ya’ni bo’lsa, u holda

(11)

shart bajariladi.

Isbot. Umumiylikka zarar keltirmasdan, deb olamiz. tengsizlikni qanoatlantiruvchi lar to’plami bo’sh emas va yuqoridan chegaralangan (Bu to’plamga hech bo’lmaganda nuqta qarashli va uning elementlari dan kichik). Xuddi shunday, tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ham bo’sh emas va quyidan chegaralangan.

Bu to’plamlar, va uchun

munosabatni qanoatlantiradi. belgilashni kiritamiz va tenglik o’rinli bo’lishini isbotlaymiz. Bu yerda nuqta kesmaning ichki nuqtasi bo’ladi. Haqiqatdan, nuqta nuqtaga teng bo’la olmaydi, chunki funksiya nuqtada o’ngdan uzluksiz bo’lganligidan nuqtaning shunday o’ng atrofi topiladiki, bo’ladi. Shunga o’xshash nuqta nuqtaga teng bo’la olmaydi Chunki bo’lganligi va funksiyani nuqtada chapdan uzluksizligidan, nuqtaning shunday chap atrofi topilib, bo’ladi. Agar tenglik bajarilmasa ichki nuqta bo’lganligi uchun uning shunday atrofi toplib, bir xil ishorali bo’lib qoladi. Bu esa aniq yuqori chegaraning tarifiga ko’ra atrofda aqalli bitta nuqta topilib, bo’lishi; atrofda ham aqalli bitta nuqta topilib, bo’lishiga qarama-qarshi bo’ladi. Bu qarama-qarshilik ekanligini isbotlaydi.