В. А. Мироненко динамика ползших поп московский

Ограничения на закон Дарси

Несмотря на широкий круг применимости, закон Дар­си имеет свои ограничения; перейдем к их рассмотрению. Закон Дарси отвечает ламинарному режиму те-
1
чения.
Принято считать [27 ], что для большинства пористых горных пород ламинарный характер движения отмечается при следующих числах Рейнольдса (см. раздел 1.1.6):
^{Re =} Д75лТД23 рГ~ ~ ~⁷⁺⁹ ’ (1.64)
где d_p — расчетный (действующий) диаметр частиц.
Например, для крупнозернистых песков при п * 0,4, d =1 мм и при v= 10м/сутВе*0,2.
В реальных условиях требование (1.64) почти всегда выполняется, за исключением, быть может, участков, не­посредственно прилегающих к стенке водозаборного со­оружения, где, кстати говоря, нередко отмечаются и за­метные нарушения структуры породы, обусловленные выносом частиц фильтрующейся водой.
Правда, следует полагать, что из-за влияния таких факторов, как извилистость поровых каналов, изменчи­вость абсолютных размеров пор и др., критическое число Рейнольдса может быть для разных пород (с одинаковыми d_p й п) существенно различным; поэтому приведенные величины являются лишь некоторым ориентиром, отно­сительно стабильным для группы однородных раздельно­зернистых пород. Однако практика и многочисленные исследования показывают, что переход к (условно) тур­булентному режиму отмечается в сравнительно редких случаях — главным образом для некоторых трещинова­тых пород.
Значения критических чисел Рейнольдса для трещиноватых по­род принято оценивать по следующей зависимости, считающейся аналогом формулы (1.64) для раздельнозернистых пород [36 ]:
v'>lkl’p in _Re = jw < R_e « _H12.
И'ж _n²^ ^Kp (1.64a)
Для трещин достаточно большого раскрытия требова­ние о ламинарности режима не выполняется, и лучшие, нежели закон Дарси, результаты дает зависимость [34]
^/_т_зн\
¹ ~ 31
I = av + bv², (1.65)
где / — гидравлический градиент
а и Ъ — постоянные величины для^анной 'системы горная порода-жидкость.
Если положить а-1/к, то при малых скоростях выра­жение (1.65) непрерывно переходит в закон Дарси.
На практике для трещиноватых пород чаще всего допустимо пользоваться законом Дарси, за исключени­ем тех закарстованных пород, в которых проницаемость обусловлена главным образом отдельными карстовыми каналами сравнительно большого раскрытия (миллимет­ры и более). Однако трудности описания движения жид­костей в таких породах связаны не столько с неясностью

формулировки основного закона движения, сколько с не­достатком информации об исходных параметрах прони­цаемости.
Закон Дарси проверяется, как правило, в экспе­
риментах со стационарными потоками, исключающих проявление инерционных сил. Однако у нас имеются вполне серьезные основания для пренебрежения силами инерции и в подавляющем большинстве случаев нестаци­онарной фильтрации: из общей гидромеханики известно, что для вязких течений с малыми числами Рейнольдса роль инерции крайне несущественна.
dv,
Подтвердим это качественно для фильтрационных течений. Со­гласно второму закону Ньютона, силы инерции, приходящиеся на жидкость в единице ооьема горной породы, выразятся формулой
д _ _Л dv
/ин Р'^п'dt Р'dt' (1.66)
При ориентации вектора v по направлению / полную производ­ную dv/ dt можно записать в виде [16 ]
dv(Lt)_dv,dv d/_dv. dv_dv.vdv (БГ Ji⁺-dl'Tt-Jt ^{+ v}*'Jl-Tt⁺h"dl' (1.67)
Так как скорости фильтрации и их изменения в пространстве обычно являются малыми величинами, то вторым членом в формуле (1.67), как произведением двух малых величин, можно пренебречь:
— »—
dt dt' (1.67а)
Тоща, с учетом закона Дарси
,v__dv_ _п и dl
ин Р' dt Р dt' (1.68)
Предположим теперь, что, как и в условиях установившегося движения, силы трения /^ , приходящиеся на единицу жидкости, выражаются формулой (1.48). Сопоставляя (1.48) и (1.68), получаем

Так как отношение к!g обычно очень мало (менее 10 с), то, как правило, силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами внутреннего трения, отраженными в законе Дарси. Исключение мо­гут составлять кратковременные динамические процессы в подзем­ных водах (взрывы, землетрясения и т.п.), коща градиенты фильт­рации претерпевают резкие, скачкообразные изменения во времени.
Согласно закону Дарси движение жидкостей в пористой среде имеет место при любом сколь угодно ма­лом градиенте. Между тем, в разделе 1.1.5 мы отметили возможность проявления водой аномальной сдвиговой прочности при движении ее в очень тонких трубках. Сле­довательно, аналогичные эффекты можно ожидать и в горных породах, характеризующихся малыми абсолют­ными размерами пор, т.е. в первую очередь в глинистых породах; если добавить к этому характерные для глин эффекты иммобилизации свободной воды (см. раздел 1.2), то станет ясно, что должен существовать нижний предел применимости закона Дарси. Для решения боль­шинства практических задач этот предел может быть фор­мально учтен введением так называемого начального гра­диента фильтрации /_н, определяемого опытным путем:
дН
Ы
дН
Ы
(1.70)
при
Тем самым предполагается, что движение жидкости в глинах начинается лишь тогда, когда градиент напора д Н
~Yj- превысит начальный градиент 1_Н (рис. 1.22). Для не­которых глинистых пород величина 1_Н измеряется десят­ками и даже сотнями единиц, т.е. такие породы воду обыч­но практически не фильтруют. Нелишне, однако, огово­рить, что понятие начального градиента является доста­точно условным и, более того, неопределенным, если участь, например, зависимость 1_Н от абсолютной величи­ны гидростатического давления (напора) и особенно от температуры. В частности, резкое падение (нередко до нуля) значений начального градиента в глинистых поро-
0

v =
дН
— к
>/.
при
Ы

дах отмечается при повыше­нии температуры до 60- 80°С, что обусловлено мас­совым переходом рыхло связанной воды в свободное состояние (см. раздел 1.2.2).

[~4~| Ограничения на применение закона Дарси, особенно в трещиноватых породах, связаны также с необходимостью выполне- ния требований, предъявля­емых к выделенному для Рис. J.22. График зависимости рассмотрения объему пород дорасти фильтрации от гра- ^ _раз^_{ел 1<2-3)}. _{как ухе}
отмечено, минимальный ре­презентативный объем в трещиноватых породах может измеряться десятками и даже сотнями метров — при боль­ших расстояниях между основными водопроводящими трещинами.
Наконец, важные ограничения вытекают из ус­редняющего характера закона Дарси, имеющего дело лишь со средней скоростью фильтрации и никак не учи­тывающего индивидуальные скорости и траектории частиц. Более подробно этот вопрос освещен в разделе 1.5.4.

4. 
   Общие представления о статистической теории фильтрации
   

Полуэмпирический характер закона Дарси, с одной стороны, заставил ряд исследователей усомниться в допустимости его приме­нения — во всяком случае в условиях, достаточно далеких от экспе­риментальных, а с другой — стимулировал неоднократные попытки более строгого физического и математического его обоснования на базе различного рода физических моделей (капиллярных и др.). Од­нако все эти попытки, к каким бы интересным частным результатам они не приводили, так и не решили упомянутой основной задачи, чего, пожалуй, и следовало ожидать, имея в виду прежде всего иск­лючительно сложный характер геометрии пористой среды. Поэтому, в частности, все теории, представлявшие пористую среду в виде сложных систем капилляров, не смогли выйти на позиции практич- ского их приложения.
Между тем, было обнаружено несоответствие некоторых прак­тических результатов теории, основанной на законе Дарси.
ПРИМЕР. На входном сечении в фильтрационной колонке с установившимся расходом жидкости через нее Q =v *ft> в течение некоторого времени t подается несорбирующийся индикатор (соль, краска и т.п.) с концентрацией C_Q. На выходе из колонки регулярно отбирают пробы и строят график C(t) (рис. 1.23). Здесь же нанесен график, рассчитанный по закону Дарси, когда все частицы индика­тора переносятся с постоянной скоростью v_d Из графиков видно,
что некоторая доля частиц движется со скоростями, заметно больши­ми v_d, другие, наоборот, фильтруются медленнее; максимум концен­трации С_тах примерно отвечает скорости v_d, но C_max < C_Q. Подчерк­нем, что этих результатов можно было ждать априорно, так как закон Дарси, будучи по своей сути законом статистическим, описывает лишь среднюю скорость фильтрации и не учитывает неравномерно­сти поля скоростей в пределах порового пространства.
Необходимость решения задач, учитывающих индивидуальные траектории и скорости движения частиц жидкости в пористой среде, постоянно побуждала искать какие-то новые возможности для раз­вития теории фильтрации. При этом некоторые исследователи [33 ] пошли по принципиально иному пути: они вообще отказались от попыток учета геометрии пористой среды и стали рассматривать последнюю как некую статистическую систему, для которой абсо­лютная величина скорости и направление движения частиц жидко­сти являются статистическими показателями, определенными с не­которой степенью вероятности. Такой подход естественно вытекал из статистического характера самой пористой среды: рассматривая в массиве горных пород ту или иную фиксированную точку, мы может лишь с определенной долей вероятности отнести ее к минеральной

С
Г
Рис. 1.23. График измене- ⁰ ния концентрации индика­тора С:
1 - фактический; 2 - рассчитанный по закону Дарси; 3 - на входе в опытную колонку
О фазе или к поровому пространству (эта вероятность численно равна пористости). Жидкость в такой среде имеет среднюю скорость v_d = v/n, определяемую законом Дарси, но отдельные ее частицы могут опережать «среднее движение» или отставать от него. Соответствую­щий матерматический аппарат также логически вытекал из теорети­ческих достижений тех дисциплин, которые уже давно занимались случайными процессами. Поэтому ряд авторов, проведя аналогию с броуновским движением, предложили для описания задач фильтра­ции известные уравнения конвективной диффузии [33 ]. Так возник­ла статистическая теория фильтрации, позволившая решить ряд важных практических задач, перед которыми «классическая» филь­трационная теория в свое время была бессильна.
В этих условиях естественно поставить вопрос: сохраняется ли необходимость в теории, построенной на законе Дарси, или же она становится ненужной после появления более общей и всеохватываю­щей статистической теории. Ответ на этот вопрос, несомненно, дол­жен быть положительным. Прежде всего теория, основанная на за­коне Дарси, проста и позволяет получить достаточно строгие (в рам­ках этой теории) решения самых сложных—с математической точки зрения — задач. Конечно, одно только это достоинство теории не могло бы служить основанием для ее широкого применения. Гораздо более важно, что классическая теория фильтрации дает для весьма широкого круга задач практически точный результат, и в то же время в рамках этой теории разработаны эффективные и простые методы определения исходных данных — фильтрационных параметров. По­следнее обстоятельство является решающим и для полного оправда­ния принятого нами феноменологического построения основ теории фильтрации, и для самого широкого применения этой теории на практике — во всех тех случаях, когда по требованиям решаемой задачи допустимо усреднение расчетной скорости в каждой точке по элементарному объему фильтрующей среды; более того, и в прочих случаях мы сумеем избежать ограничений развиваемой здесь теории посредством дополнительных феноменологических построений (см. гл. б).

5.