V. I. Romanovskiy nomidagi Matematika insitutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi

Kurs ishining maqsadi:
Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechish topish, va о‘rganishdan iborat.
Kurs ishining vazifasi:
Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechishni o`rganish.
ASOSIY QISM
Trigonometrik tenglamalarni yechish


Noma`lum son faqat trigonometrik funksiyaning argumenti sifatida qatnashgan tenglama trigonometrik tenglama deyiladi.
Trigonometrik tenglamalar — nomaʼlum argumentning trigonometrik funksiyalariga nisbatan algebraik boʻlgan tenglamalar. Trigonometrik tenglamalar eng sodda Trigonometrik tenglamalarga keltirib yechiladi.
"Trig" qayta yo'naltirishlar. Boshqa maqsadlar uchun qarang Trig (ajralish).

Trigonometriya (dan.) Yunoncha trigōnon, "uchburchak" va metron, "o'lchov") ning filialidir matematika va yon uzunliklar orasidagi munosabatlarni o'rganadigan burchaklar ning uchburchaklar. Maydon paydo bo'ldi Ellinizm dunyosi Miloddan avvalgi III asrda geometriya ga astronomik tadqiqotlar. Yunonlar asosiy e'tiborni akkordlarni hisoblash, Hindistondagi matematiklar trigonometrik nisbatlar uchun qadimgi ma'lum bo'lgan jadvallarni tuzishgan (shuningdek, shunday deb nomlangan) trigonometrik funktsiyalar) kabi sinus. Tarix davomida trigonometriya kabi sohalarda qo'llanilgan geodeziya, geodeziya, samoviy mexanikava navigatsiya.
Trigonometrik funksiyalar tengligi xossalaridan foydalanib, yechiladigan tenglamalar keltirilgan.Trigonometrik tenglamalarni bir xil nomli trigonometrik funksiyalarni tengligiga olib kelish usullari amalda misollar orqali ko`rsatib beriladi. Bundan tashqari teorema birga zaruriylik va yetarlilik shartlarining bajarilishi isbotlash orqali amalga oshiriladi.
Trigonometrik tenglama, teorema,  , burchak
Ko`p trigonometrik tenglamalarni bir hil nomli trigonometrik funksiyalarni tengligiga olib kelish mumkin y`ani a)  , b)  , c)  tengliklarni qanoatlantiruvchi ikkita α va β burchaklarni topishga.Bu ikkita burchak teng bo`lish shartlarini ko`rib o`tamiz .
Teorema I. Ikkita burchak sinuslari teng bo`lishi uchun bu ikki burchak ayirmasi 2nπga teng bo`lishi yoki bu burchaklar yig`indisi (2n+1)π ga teng bo`lishi zarur va etarlidir .
Zarurlik shartini isboti .
Bizga  berilgan bo`lsin . Yechimimiz α-β=2nπ yoki α+β= (2n+1) π , n Z ekanligini isbot qilish kerak .
Berilgan shartga ko`ra , 2
Bu quyidagi hollarda bajariladi:1) ,bundan bo`lishligi kelib chiqadi . Yoki 2)  ,bundan bo`lishligi kelib chiqadi.
Etarlilik shartini isboti :
1) da yoki  ekanligi berilgan .  ekanligini isbot qilishimiz kerak .
 shartidan  kelib chiqadi .
 , 2 bu funksiyani davri ekanligidan  kelib chiqadi .
Yoki 2) da yoki  u holda  ,  , yani  ekanligi kelib chiqadi .
Misollar.
a) bu ayniyat bo`ladi chunki 3,8π+1,2π=5π
b)  sinus funksiyamiz toq funksiya bo`lganligidan
va bundan bo`ladi .
v)  bu yerda 880<sup>0</sup>+  =1260<sup>0</sup>=7*180<sup>0</sup>
g)  chunki bu yerda birorta shartlar bajarilmayapdi .Sababi bu ikki burchakni yig`indisi toq sondagi  ga teng bo`lishi kerak edi . Bu yerda bu ikki burchak yig`indisi 4  ga teng bo`lib qoladi .
Teorema II. Ikki burchak cosinuslari o`zaro teng bo`lishi uchun bu burchaklar ayirmasi juft sondagi  ga yoki bu burchaklar yig`indisi juft sondagi  ga teng bo`lishi zarur va etarlidir .
Zarurlik shartini isboti .
Bizga  berilgan bo`lsin . Yechimimiz α-β=2nπ yoki α+β= 2n π , n Z shartni qanoatlantirishini isbot qilish kerak .
Berilgan shartga ko`ra , -2
Bu quyidagi hollarda bajariladi : 1)  , 
Yoki 2)  , 
Etarlilik isboti :
1) da yoki  ekanligi berilgan .
  ekanligini isbot qilishimiz kerak .
shartidan  kelib chiqadi.
 , 2 bu funksiyani davri ekanligidan  kelib chiqadi .
Yoki 2) da yoki  u holda
 , 
Misollar :
b) bu ayniyat bo`ladi chunki 4,7π+3,3π=8π
b)  bu yerda  demak bu ayniyat bo`ladi .
v)  bu yerda 17,3 -11,3 =6
g)  chunki bu yerda birorta shartlar bajarilmayapdi .Sababi bu ikki burchakni yig`indisi toq sondagi  ga teng bo`ladi . Bu yerda bu ikki burchak yig`indisi 9  ga teng bo`lib qoladi .
Teorema III.ikkita burchak tangenslari teng bo`lishi uchun bu burchaklarning har birida tangensi mavjud bo`lishlari va bu burchaklarning farqi k*  , bu yerda
k bo`lishi zarur va etarlidir .
Etarlilik shartini isboti :
Berilgan :  ekanligini isbot qilish kerak .
Shartimizni berilishiga ko`ra shartimizga ko`ra  bo`lganligidan  bundan  , 
Zaruriylik shartini isboti:
Berilgan : 
 ekanligini isbotlash kerak .
Isbot : ekanligidan  bundan  ga  ni o`rniga qiymatini qoyamiz . bo`ladi .  bu tangensni davri bo`lganligi uchun  bo`ladi .
Misollar :
a)  bu yerda tangens ikki burchakda ham aniqlangan . 
b)  ,  bu ikki burchakning tangensi mavjud. Va 
v)  ifoda ma’noga ega emas chunki tangenslar bu burchaklarda mavjud emas .Ikkinchi shart =4 bajarilsa ham .
g)  chunki bu yerda ikkala shart ham bajarilmaydi .  mavjud emas .
Shu hossalardan foydalanib trigonometrik tenglamalarni yechishga qo`llasak bo`ladi .