Va gruppalar, esa ni ga akslantiradigan funksiya bo’lsin

Ta’rif 5.1.1 va gruppalar, esa ni ga akslantiradigan funksiya bo’lsin. U holda barcha lar uchun tenglik o’rinli bo’lsa, akslantirish ni ga gomomorfizmi deyiladi.

ning neytral elementini bilan belgilaylik. akslantirishni barcha lar uchun tenglik bilan aniqlaymiz. Bu holda barcha lar uchun tenglik o’rinli bo’ladi. Demak, akslantirish ni ga gomomorfizmidan iborat ekan. Bu ko’rsatadiki, ni ga akslantirdigan gomomorfizm har doim mavjud ekan. Bu gomomorfizm trivial gomomrfizm deb yuritiladi.

Xuddi shunday, ni o’zini o’ziga ayniy akslantirish ham gomororfizmdan iborat bo’ladi.

Goomorfizmga boshqa misollarni keltirishdan oldin, uning asosiy xossalarini isbot qilamiz.

Teoyerma 5.1.2. akslantirish gruppani gruppaga gomomorfizmidan iborat bo’lsin. U holda quyidagi tasdiqlar o’rinli bo’ladi.

1. 
   ;
   
2. 
   barcha lar uchun bo’ladi.
   
3. 
   Agar – ning qism gruppasidan iborat bo’lsa, ham ning qism gruppasidan iborat bo’ladi.
   
4. 
   Agar – ning qism gruppasidan iborat bo’lsa, ham ning qism gruppasidan iborat bo’ladi, va agar normal qism gruppadan iborat bo’lsa, ham ning normal qism gruppasidan iborat bo’ladi.
   
5. 
   Agar kommatativ bo’lsa, ham kommutativ gruppadan iborat bo’ladi.
   
6. 
   Agar uchun bo’lsa, tartib ning bo’luvchisidan iborat bo’ladi.
   

Teoremaning isboti. (i). gomomorfizm bo’lganligi uchun bo’lganligi uchun ni hosil qilamiz.

(ii). bo’lsin. U holda . Xuddi shunday ni hosil qilamiz. ning teskarisi yagonaligidan ni hosil qilamiz.

(iii). – ning qism gruppasidan iborat bo’lsin. U holda va (i) ga asosan bo’ladi. Shunday qilib, va . bo’lganda, bo’lsin. qism gruppa bo’lganligi uchun bo’ladi. Shunday qilib,

bo’ladi. Demak, 4.1.3-teoremaga asosan - ning qism gruppasidan iborat bo’ladi.

(iv). (i) ga asosan bo’lganligi uchun . bo’lsin. U holda bo’ladi. Demak, bo’ladi, bu yerdan esa kelib chiqadi. Shunday qilib, 4.1.3-teoremaga asosan - ning qism gruppasidan iborat bo’ladi. Faraz qilaylik, – ning normal qism gruppasidan iborat bo’lsin. bo’lsin. ekanligini ko’rsatamiz. bo’lsin. Bu holda biror da bo’ladi. Bu yerdan va - ning normal qism gruppasidan iborat ekanligidan



ni hosil qilamiz. Demak, , bu esa ekanligini ko’rsatadi. Shunday qilib, - ning normal qism gruppasi ekan.

(v). Faraz qilaylik, kommutativ bo’lsin. bo’lsin. U holda bo’ladi. Bu esa ning kommutativ ekanligini ko’rsatadi.

(vi). bo’lganligi uchun 2.1.28 teoremaga asosan tartib ning bo’luvchisidan iborat.