Va gruppalar, esa ni ga akslantiradigan funksiya bo’lsin

Teorema 5.1.9. gomomorfizm bo’lsin. U holda uning yadrosi gruppaning normal qism gruppasidan iborat bo’ladi.

Isbot. bo’lganligi uchun . bo’lsin. U holda bo’ladi. Demak, bo’ladi, bu esa 4.1.3-teoremaga asosan ning qism gruppasidan iborat ekanligini ko’rsatadi. Endi bo’lsin. U holda bo’ladi. Bu ekanligini ko’rsatadi. Bu yerdan munosabat kelib chiqadi. Demak, 4.4.3-teoremaga asosan ning normal qism gruppasidan iborat ekan.

5.1.10. Misol. va (ko’paytirishga nisbatan) gruppalarni qaraymiz. Ulardan birinchisi nokommutativ, ikkinchisi esa kommutativ gruppadan iborat. * akslantirishni barcha matrisalar uchun



tenglik bilan aniqlaymiz bo’lsin. U holda



bo’ladi. Bu ning gomomorfizm ekanligini ko’rsatadi. Endi uninng syu’rektiviligini ko’rsatamiz. bo’lsin. U holda matrisa mavjud va bo’ladi. Demak, gomomorfizm ning ustiga akslantirish ekan.

va bo’lganligi uchun monomorfizm bo’lmaydi. U faqat epimorfizm bo’lar ekan.

Bu misol kommutativ bo’lmagan gruppaning gomomorfizmdagi obrazi kommutativ gruppadan iborat bo’lishi mumkinligini ko’rsatadi.

5.1.11 misol. gruppani va uning normal qism gruppasi



ni qaraymiz. akslantirishni barcha lar uchun tenglik bilan aniqlaymiz. U holda barcha lar uchun

tengliklar o’rinli bo’ladi. Demak, gomomorfizmdan iborat ekan. Bu gomomorfizmning yadrosini topamiz.

bo’ladi. Demak, bu gomomorfizmning yadrosi ning normal qism gruppasidan iborat ekan.

5.1.9 teoremada gruppaning gruppaga gomomrfizmidagi yadrosi gruppaning normal qism gurppasi ekanligini ko’rsatgan edik. Quyidagi teoremada gruppaning har qanday normal qism gruppasi gruppani faktor gruppaga gomomorfizmini yuzaga keltiradi va uning yadrosi shu normal qism gruppa bo’ladi. 5.1.11 misoldagi xossa nafaqat uchinchi tartibli simmetrik gruppaga xos, balki barcha gruppalar uchun umumiydir.

5.1.12. Teorema. – gruppaning normal qism gruppasi bo’lsin. gruppani faktor gruppaga akslantiradigan funksiyani barcha lar uchun quyidagicha aniqlaymiz . U holda, gruppani faktor gruppaga gomomorfizmidan iborat va bo’ladi. (Bunday gomomorfizm gruppani faktor gruppaga tabiiy gomomorfizmi deb yuritiladi).

Isbot. akslantirishning aniqlanishidan uning syu’rektiv ekanligi kelib chiqadi. bo’lsin. U holda ni hosil qilamiz. Bu esa ning gomomorfizm ekanligini ko’rsatadi. Endi ning yadrosi ekanligini ko’rsatamiz. bo’lsin. U holda, bo’ladi. Lekin, akslantirishning aniqlanishiga asosan bo’ladi, bu yerdan ni hosil qilamiz, bu esa faqat bo’lgandagina o’rinli. Ya’ni, bo’ladi. Demak, bo’ladi.

Endi gruppalar orasidagi gomomorfizmning shunday xususiy holini qarab chiqamizki, bu holda gruppalarning asosiy tushunchalari algebraik nuqtai nazardan bir-biridan farqlanmaydi.

Ta’rif. gruppaning gruppaga gomomorfizmi shu gruppalarninng izomorfizmi deyiladi, agar u ham inyektiv,ham syu’rektiv bo’lsa. U holda bu gruppalar izomorfik gruppalar deb yuritiladi va bilan belgilanadi. gruppaninng o’ziga o’zining izomorfizmi shu gruppaning avtomomrfizm deyiladi.

gruppaning barcha avtomomrfizmlari bilan belgilanadi.

Quyida gruppalar izomorfizmiga oid bir necha teoremalarni keltiramiz. Ulaga asosan biz ikkita gruppaning izomorf yoki yo’qligini aniqlaymiz.