Vakuumdagi elektrostatik maydon uchun Gauss teoremasi va uning sodda elektr maydonlarini hisoblashda qo‘llanilishi. Elektrostatik maydon kuchlarining bajargan ishi

Elektr induksiya vektori va elektr induksiya kuch chiziqlari. Elektr induksia oqimi.

Elektr maydon kuchlanganligi va kuch chiziqlari to‘g‘risida so‘z yuritgan edik: musbat nuqtaviy zaryadning kuch chiziqlari zaryad markazidan tashqariga yo‘nalgan radial chiziqlardan iborat edi; manfiy nuqtaviy zaryad kuch chiziqlari markazga yo‘nalgan radialchiziqlardan iboratdir. Ammo, bu kuch chiziqlari qaergacha davom etadi?
Vakuumda kuch chiziqlari uzluksizdir. Dielektriklarda bo‘linish chegarasigacha davom etadi, ya'ni cheklangan bo‘ladi.
Shunday qilib, bir jinsli bo‘lgan dielektriklarda kuch chiziqlarining uzluksizlik sharti bajarilmaydi. Shuning uchun ham, ixtiyoriy ko‘rinishdagi dielektriklar ichidagi maydonni tavsiflash uchun uning bo‘linish chegarasidan uzluksiz o‘tadigan yangi D vector kattalik kiritiladi.Bu vektor kattalik elektr induksiya vektori deb ataladi.
Elektr induksiya vektori chiziqlari ixtiyoriy muhitda uzluksiz bo‘lishi uchun, E kuchlanganlik vektori bilan quyidagi munosabatda
bog‘langan bo‘lishi shart.
(3.1)
ya’ni
(3.2)
bu yerda εε₀ – vakuum bilan dielektrikning elektr singdiruvchanliklaridan qutilganimiz uchun, elektr induksiya vektori D ning uzluksizligi ta'minlanadi. Shu sababli, elektr kuch chiziqlari bir muhitdan ikkinchi muhitga o‘tishda uzluksizligi ta'minlanganligi uchun ( 3.1 ) - ifodani ko‘pinchalik elektr ko‘chishi deb ataladi.
Skalyar ko‘rinishda
(3.3)
ga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, ixtiyoriy muhitda nuqtaviy zaryad hosil qilgan maydonning biror nuqtasidagi induksiya shu zaryadga to‘g‘ri proporsional, masofa kvadratiga teskari proporsionaldir.
Elektr induksiya vektori D miqdor jihatdan bir birlik yuzadan tik ravishda o‘tayotgan induksiya chiziqlarini, ya'ni uning sirt zichligini ifodalaydi.

Elektr induksiya vektori
Bir jinsli elektr maydonidagi ixtiyoriy S yuza orqali tik ravishda o‘tayotgan induksiya chiziqlari induksiya oqimlari deb ataladi.
(3.4)
Agar elektr maydoni bir jinsli bo‘lmasa
D ≠ const
u holda, dS elementar yuza sohasidagi maydonni bir jinsli deb hisoblash mumkin. U vaqtda (3.4) ifoda quyidagi differensial ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(3.5)
Ixtiyoriy S sirtdan o‘tuvchi elektr induksiya oqimi N cheksiz ko‘p shunday elementar elektr induksiya oqimlari dN ning yig‘indisi bilan ifodalanadi:
(3.6)
4. Ostrogradskiy-Gauss teoremasi.
Faraz qilaylik, q zaryad ixtiyoriy yopiq S sirt ichida joylashgan bo‘lsin

Yopiq sirtning fazoviy burchagiga to‘g‘ri keluvchi elektr
induksiya vektori
Elektr induksiya vektorining ifodasiga ko‘ra:

bu yerda D – vektor zaryad joylashgan nuqtadan chiqqan bo‘lib, r – radius - vektor bo‘ylab yo‘naladi. Shuning uchun n normal' bilan D vektor orasidagi fazoviy burchak dS va dS┴ sirtlari orasidagi burchakka tengdir. U vaqtda elementar dS sirtdan chiqayotgan elektr induksiya oqimi quyidagiga teng bo‘ladi:
(4,1)
Bu yerda elementar fazoviy burchakka teng bo’lgani uchun:
(4.2)
Agar butun shar sirti bo‘yicha integrallasak
(4.3)
Ostrogradskiy – Gauss teoremasining matematik ifodasiga ega bo‘lamiz. Yopiq sirtdan chiqayotgan elektr induksiya oqimi shu sirt ichidagi zaryad miqdoriga teng.
Yopiq sirt ichida
q₁, q₂, q₃… q_n
zaryadlar berilgan bo’lsa, elektr induksiya vekori quyidagiga teng bo’ladi:

Elektr induksiya oqimi esa
(4.4)
ya'ni yopiq sirt ichidagi zaryadlarning arifmetik yig‘indisiga tengbo‘ladi. Haqiqatda, kuch chiziqlarining oqimi sirt radiusiga bog‘liq emas, ikkita sirt orasidagi fazoda, zaryadlar yo‘q bo‘shliqda uzluksizdir, Shu sababli, zaryadni o‘rab olgan ixtiyoriy sirtdan o‘tadigan elektr induksiya oqimi (4.3) ifoda bilan aniqlanadi va u Ostrogradskiy – Gauss teoremasining integral ko‘rinishi deb hisoblanadi. Quyida bu teoremaning differensial ko‘rinishini keltirib chiqaramiz.
ρ hajmiy zaryad zichligi bilan zaryadlangan dV elementar hajm keltirilgan

ρ hajmiy zaryad zichligi bilan zaryadlangan elementar hajm
dV hajm elementi zaryadi dq= ρdV ga teng. Boshqa tarafdan ρ fazoviy koordinatalarning uzluksiz funsiyasi hisoblanadi.
Elementar dV hajmning 1-tomondan chiqqan tashqi normal x o’qining manfiy yo’nalishiga mos keladi. Shu sababli shu sirt bo’yicha vector oqimi – E_x(x)dydz ga teng bo’ladi. Parallelopipedning 2-siridan chiqqan tashqi normal x o’qining musbat yo’nalishiga mos keladi va shu sirt bo’yicha oqim + E_x(x+dx)dydz ga teng bo’ladi. Ikkala oqim yi’g’indisi
(4.5)
ga teng bo’ladi.
Paralellepipedning butun sirti bo’yicha to’la oqim
d N=divEdV (4.6)
ga teng bo’ladi, bu yerda
Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga asosan,shu oqim dN=q= ρdV ga tengdir.(4.5) va (4.6) ifodalarni taqqoslasak quyidagiga ega bo’lamiz
divE =ρ (4.7)
Bu ifoda Ostrogradskiy – Gauss teoremasining differensial ko‘rinishidir. Elektr maydonining divergensiyasi elektr oqimining fazoviy koordinatalar yo‘nalishlari bo‘yicha gradientlar yig‘indisiga yoki zaryadlangan hajmning hajmiy zaryad zichligiga teng bo‘ladi.
Ostrogradskiy – Gauss teoremasini amalda tadbiq etish uchun, quyidagi tushunchalarni kiritamiz:
• Zaryadlarning hajmiy zichligi deb, jismning bir birlik xajmiga mos kelgan zaryadga miqdor jihatdan teng bo‘lgan fizik kattalikka aytiladi, ya'ni ρ=q/V (4.8) bu yerda q – jismning V – hajmiga mos kelgan zaryad miqdori.
• Zaryadning sirt zichligi deb, jismning bir birlik sirt yuzasiga mos kelgan zaryadga miqdor jihatdan teng fizik kattalikka aytiladi, ya'ni σ=q/S (4.9) bu yerda q – jismning S yuzasiga mos kelgan zaryad miqdori.
• Zaryadning chiziqli zichligi deb, jismning uzunlik birligiga mos kelgan zaryadga miqdor jihatdan teng fizik kattalikka aytiladi, ya'ni τ =q/l (4.10) bu yerda q - jismning l uzunligiga mos kelgan zaryad miqdori.