«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

5. Ekstremal masala yechimining mavjudligi. Veyershtrass teoremasi va uning umumlashmasi.Bu yerda chekli o’lchovli ekstremal masalalar uchun yechimning mavjudlik teoremalarini bayon qilamiz.

Chekli o’lchovli

(1)

ekstremal masalani qaraymiz. (1) masala yechimining mavjudligi,

( )

munosabatlarning bajarilishi demakdir. Bu munosabatlarning bajarilishini ta’minlovchi shartlar funksiya va to’plamga qo’yiladigan shartlardan iborat bo’lib, ular Veyershtrass teoremasi nomi bilan ma’lumdir.

1. 
   t a ’ r i f. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun ( ) bo’lsa, funksiya nuqtada quyidan (yuqoridan) yarim uzluksiz deyiladi. Agar funksiya to’plamning har bir nuqtasida quyidan(yuqoridan) yarim uzluksiz bo’lsa, u to’plamda quyidan (yuqoridan) yarim uzluksiz deyiladi.
   

Agar funksiya uzluksiz bo’lsa, u ham quyidan, ham yuqoridan yarim uzluksiz bo’ladi, va aksincha, agar funksiya ham quyidan, ham yuqoridan yarim uzluksiz bo’lsa, u uzluksizdir.
to’plamda quyidan (yuqoridan) yarim uzluksiz funksiyalar to’plami ( ) kabi belgilanadi.
1- m i s o l. ,
bo’lsin. funksiya bo’lganda to’plamda quyidan, bo’lganda yuqoridan yarim uzuluksiz; bo’lganda esa bu funksiya da uzluksiz bo’ladi.

2. 
   m i s o l. , .
   

Bu yerda funksiya bo’lganda to’plamda quyidan, bo’lganda yuqoridan yarim uzluksizdir; bo’lganda esa, funksiya nuqtada quyidan ham, yuqoridan ham yarim uzluksiz emas.
1-teorema (Veyershtrass). Faraz qilaylik, ( ), to’plam bo’sh bo’lmagan, chegaralangan va yopiq to’plam bo’lsin. U holda: a) ( ); b) (1) masalaning yechimlari to’plami ( ) bo’sh bo’lmagan chegaralangan va yopiq to’plam bo’ladi.
I s b o t i. Isbotni minimum uchun olib boramiz. Maksimum uchun shunga o’xshash isbotlanadi.
- ixtiyoriy minimumlashtiruvchi ketma – ketlik bo’lsin, ya’ni . Bunday ketma – ketlikning mavjudligi aniq quyi chegaraning ta’rifidan kelib chiqadi. - kompakt to’plam bo’lgani uchun ketma – ketlik hyech bo’lmaganda bitta limit nuqtaga ega va uning barcha limit nuqtalari ga tegishli bo’ladi. shu ketma – ketlikning ixtiyoriy limit nuqtasini olamiz. U vaqtda nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma – ketlik mavjud. Aniq quyi chegaraning xossasidan va funksiyaning nuqtada quyidan yarim uzluksizligidan foydalanib, munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni . Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ixtiyoriy minimumlashtiruvchi ketma – ketlikning ixtiyoriy limit nuqtasi ga tegishli ekanligi ham ko’rsatildi.
Endi ning kompakt (chegaralangan va yopiq) to’plamligini ko’rsatamiz.
, - chegaralangan bo’lgani uchun - chegaralangandir. ning yopiqligini ko’rsatish qoldi. Ixtiyoriy yaqinlashuvchi ketma – ketlikning olamiz. bo’lsin. - minimumlashtiruvchi ketma – ketlik, chunki . Yuqorida isbotlanganiga ko’ra, . Demak ning yopiqligi ham ko’rsatildi. 
Keltirilgan Veyershtrass teoremasida funksiyaga va to’plamga qo’yilgan shartlar muhimdir. Quyida keltirilgan misollarda berilgan ekstremal masalalarning yechimi mavjud emas. Ular uchun Veyershtrass teoremasining shartlaridan hyech bo’lmaganda birortasi bajarilmaydi.
3-m i s o l. a) . Bu yerda to’plam kompakt emas.
b)
.
Bu yerda kompakt, ammo quyidan yarim uzluksiz emas:
d)
Bu masalada - yopiq, ammo chegaralanmagan, demak - kompakt emas.
Amaliyotda ko’pincha, to’plam kompakt bo’lmaydi. Natijada, 1-teoremani qo’llash mumkin emas. Bunday hollarda 1-teoremaning quyidagi umumlashmasidan foydalanish mumkin.