«Variatsion hisob va optimallashtirish usullari» fanidan ma’ruza darslari ishlanmalari

.


Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo’yilishi, xossalari va sinflari. Ekstremal masala yechimining mavjudligi.
Reja:
Kirish
I.Bob.Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo’yilishi, xossalari va sinflarni o'rganish
1.1. Chekli o’lchovli ekstremal masalaning qo’yilishi va uning asosiy tiplari.
1.2. Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning ba’zi umumiy xossalari
II.Bob.Chekli o’lchovli ekstremal masalalarning umumiy qo’yilishi va Ekstremal masala yechimining mavjudligi
2.1.Сhekli o’lchovli ekstremal masalalarning ba’zi umumiy xossalari.
2.2. Ekstremal masala yechimining mavjudligi.
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

1.Chekli o’lchovli ekstremal masalaning qo’yilishi va uning asosiy tiplari.

- - o’lchovli haqiqiy Evklid fazosi bo’lsin. fazo va elementlarining skalyar ko’paytmasi tenglik bilan, vektorning normasi esa ko’rinishda aniqlanadi. Ko’pincha (vektor – matrisali yozuvdan foydalanilganda) fazoning elementlarini - o’lchovli vektor – ustunlar deb qaraladi va elementlarning skalyar ko’paytmasi ko’rinishda belgilanadi, bu yerda T – transponirlash belgisi.
fazoning biror to’plamida aniqlangan funksiya berilgan bo’lsin.
1-t a ’ r i f. bo’lsin. Agar barcha lar uchun munosabat bajarilsa, ga funksiyaning to’plamdagi global minimum (global maksimum) nuqtasi deyiladi.
Agar - funksiyaning to’plamdagi global minimum (global maksimum) nuqtasi bo’lsa, ga - funksiyaning to’plamdagi eng kichik (eng katta) yoki minimal (maksimal) qiymati deyiladi va

kabi belgilanadi.
1- m i s o l. =
funksiyani qaraymiz.
a) to’plamda funksiyaning global minimum nuqtasi , chunki ,
funksiyaning shu to’plamdagi global maksimum nuqtasi , chunki
.
b) Agar bo’lsa, qaralayotgan funksiyaning global minimum nuqtalari uchta : global maksimum nuqtasi esa bitta : .
v) Qaralayotgan funksiyaning to’plamda global minimum va maksimum nuqtalari sanoqli: - global minimum nuqtalari, - global maksimum nuqtalaridir.
g) bo’lganda, funksiya bu to’plamda o’zining aniq va quyi chegarasiga erishmaydi, ya’ni bu holda funksiyaning global minimum nuqtasi yo’q. Haqiqatan ham,
ammo uchun >0.
2- m i s o l. funksiya berilgan.
a) bo’lsa, funksiyaning to’plamdagi global maksimum nuqtasi bo’ladi, chunki ; global minimum nuqtalari esa, shartni qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat, chunki, =0, ; , ; demak, global minimum nuqtalari to’plami kontinium quvvatlidir.
b) to’plamda esa, funksiya shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarda aniq yuqori chegarasiga erishadi, chunki, =0, ; , ; bu to’plamda funksiyaning global minimum nuqtalari yo’q: .
2- t a’ r i f. bo’lsin. Agar biror son topilib, barcha uchun munosabat bajarilsa, ga funksiyaning to’plamdagi lokal minimum (lokal maksimum) nuqtasi deyiladi.
funksiyaning to’plamdagi minimum (maksimum) nuqtari va minimal (maksimal) qiymatini topish haqidagi masalaga minimallashtirish (maksimallashtirish) masalasi deyiladi va u
(1)
ko’rinishda belgilanadi.
funksiyaning to’plamdagi minimum va maksimum nuqtalari ekstremum nuqtalari deb, (1) ko’rinishdagi masalalarni esa chekli o’lchovli ekstremal masalalar deb atamiz. Qaralayotgan ekstremal masala uchun

belgilashdan ham foydalaniladi.

1. 
   ekstremal masalaning global (lokal) yechimi deb, funksiyaning to’plamdagi global (lokal) ekstremum nuqtalarini tushunamiz.
   

3- m i s o l.
(2)
- (2) masalaning lokal yechimi bo’ladi, chunki, agar bo’lsa, uchun, bo’ladi. Lekin, nuqta (2) masalaning global yechimi bo’la olmaydi, chunki agar bo’lsa, bo’ladi. va - masalaning global yechimlaridir: .
Matematikaning chekli o’lchovli ekstremal masalalar bilan shug’ullanadigan bo’limi matematik programmalashtirish deb ataladi.
Matematik programmalashtirishda ko’pincha quyidagi atamalardan foydalaniladi: (1) masala – optimallashtirish masalasi; - maqsad funksiyasi; - rejalar (joiz nuqtalar) to’plami; - ixtiyoriy reja (joiz nuqta); (1) masalaning global (lokal) yechimi – optimal (lokal optimal) reja.
Maqsad funksiyasi va rejalar to’plamining berilishiga qarab, chekli o’lchovli optimallashtirish masalalarini quyidagicha sinflarga (tiplarga) ajratish mumkin.
a) Bir o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi:
(3)
Bir o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi matematik programmalashtirishning klassik masalasi bo’lib, bu masala haqida dastlabki ma’lumotlar bizga matematik analiz kursidan ma’lum.
b) Shartsiz ekstremum masalasi:
(4)
Bu masala (1) dan = bo’lganda kelib chiqadi. Shartsiz ekstremum masalasi matematik programmalashtirishning klassik masalasi bo’lib, u matematik analiz kursida differensial hisob yordamida o’rganilgan.
d) Klassik shartli ekstremum masalasi:
(5)
Bu masalada rejalar to’plami , ya’ni faqat tenglik ko’rinishidagi bog’lanishlar berilgan.
e) Chiziqsiz programmalashtirishning umumiy masalasi:
. (6)
Ushbu masalani matematik programmalashtirishning umumiy shartli ekstremum masalasi deb ham ataymiz. Unda tenglik ko’rinishidagi bog’lanishlar bilan bir qatorda tengsizlik ko’rinishidagi bog’lanishlar ham qatnashadi.
(6) masaladan, xususiy holda, bo’lganda shartsiz ekstremum masalasiga, bo’lganda esa, klassik shartli ekstremum masalasiga ega bo’lamiz.
f) Qavariq programmalashtirish masalasi. - qavariq to’plam, , funksiyalar to’plamda qavariq, , funksiyalar chiziqli bo’lganda ,
,
minimallashtirish masalasiga qavariq programmalashtirishning umumiy masalasi deyiladi.
g) Kvadratik programmalashtirish masalasi. Agar qavariq programmalashtirish masalasida maqsad funksiyasi ( -simmetrik - matrisa, ) kvadratik funksiyadan iborat, cheklashlar esa, chiziqli funksiyalar bilan berilgan bo’lsa, unga kvadratik programmalashtirish masalasi deyiladi.
h) Chiziqli programmalashtirish masalasi.Agar (6) masalada fuknsiyalar chiziqli, yoki bo’lsa, chiziqli programmalashtirish masalasiga esa bo’lamiz.

2. Ekstremal masalalarni matematik modellashtirish. Misollar.

Amaliyotda paydo bo’ladigan optimallashtirish masalalariga hozirgi zamon ekstremal masalalar nazariyasini qullay olish uchun avvalo ularni matematika tiliga ko’chirish – matematik formalashtirish zarur. Qo’yilgan har bir optimallashtirish masalasini matematik modellashtirish, shu masalaning matematik modelini tuzishga olib keladi. Quyida optimallashtirish masalalarining matematik modelini tuzishga doir bir necha misollar qaraymiz.

1
x

y
-m a s a l a. Berilgan to’g’ri chiziqda shunday nuqtani topish talab qilinadiki, undan berilgan ikki nuqtagacha bo’lgan masofalar yig’indisi minimal (eng kichik) bo’lsin. Qo’yilgan masalaning matematik modelini tuzamiz. Buning uchun tekislikda Dekart koordinatalar sistemasini qaraymiz va o’qni berilgan to’g’ri chiziq bo’ylab yo’naltiramiz, o’qni esa, berilgan A nuqta orqali o’tkazamiz (1-chizma). va - mos ravishda, berilgan A va B nuqtalardan o’qdagi ixtiyoriy C nuqtagacha bo’lgan masofalar bo’lsin. Masala shartiga ko’ra, o’qda
shunday C nuqtani topish talab qilinadiki, miqdor eng kichik qiymat qabul qilinsin. A, B, C nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo’lsin: . U vaqtda, C nuqtaning o’qda o’zgarishi uning absissasi - o’zgaruvchining to’plamda o’zgarishidan iborat. Shunday qilib, qo’yilgan masalaning matematik modeli, , ko’rinishda, ya’ni bir o’zgaruvchili funksiyaning minimumini topish masalasidan iborat bo’ladi.
2- m a s a l a. fazoda nuqtalar berilgan bo’lsin. Shunday nuqtani topish talab qilinadiki, bu nuqtadan berilgan nuqtalargacha bo’lgan masofalar kvadratlarining yig’indisi minimal bo’lsin. Ixtiyoriy nuqtadan nuqtagacha bo’lgan masofa, bo’lgani uchun, qo’yilgan masalaning matematik modeli, quyidagi,
, shartsiz minimallashtirish masalasidan iborat.
3- m a s a l a. Tekislikda berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofa topilsin.
Berilgan nuqta , berilgan to’g’ri chiziq bo’lsin. Agar - to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, undan nuqtagacha bo’lgan masofa, bo’ladi. nuqta to’g’ri chiziqda yotgani uchun, uning koordinatalari bog’lanishni qanoatlantiradi. Shunday qilib, berilgan masala quyidagi minimallashtirish masalasiga keltiriladi:
.

4- m a s a l a. Doiraga eng katta yuzaga ega bo’lgan to’g’ri to’rtburchak chizilsin.

Aylana tenglamasi bo’lsin.
va o’qlarini to’g’ri to’rtburchak tomonlariga
parallel qilib o’tkazamiz va orqali to’g’ri
to’rtburchakning koordinatalar tekisligi birinchi
choragida yotuvchi uchining koordinatalarini
belgilaymiz(2-chizma).
2- chizma.
U vaqtda, doiraga ichki chizilgan to’g’ri to’rtburchakning yuzi ga teng bo’ladi. o’zgaruvchilarga , shartlar qo’yilgan. Shunday qilib, qo’yilgan masalaning matematik modeli,
.
ko’rinishni oladi.Bu masalani,

ko’rinishda ham yozish mumkin.
5- m a s a l a (ishlab chiqarish masalasi). Korxona turdagi mahsulot ishlab chiqarish uchun xomashyoning xilidan foydalaniladi. Faraz qilaylikki, - mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun - xomashyoning sarf bo’ladigan miqdori bo’lsin; - mahsulot birligining realizasiyasidan olinadigan foyda miqdori esa bo’lsin. Agar - xildagi xomashyo miqdori bo’lsa, mahsulot ishlab chiqarishning shunday rejasini tuzish talab qilinadiki, uning realizasiyasidan keladigan foyda maksimal bo’lsin.
Qo’yilgan masalaning matematik modelini tuzamiz. - - mahsulot ishlab chiqarish rejasi bo’lsin. Tushunarliki, bo’ladi. bundan tashqari, masala shartiga ko’ra, , bog’lanishlarga ega bo’lamiz. Umumiy ishlab chiqarish rejasi ning realizasiyasidan keladigan foyda - bo’ladi. Shunday qilib, qaralayotgan ishlab chiqarish masalasining matematik modeli

ko’rinishdagi chiziqli programmalashtirish masalasidan iborat.
3. Ekstremal masalaning geometrik talqini.
Chekli o’lchovli (1) ekstremal masalaning geometrik ma’nosi haqida qisqacha so’z yuritamiz.
(7)
ko’rinishdagi to’plamlarni qaraymiz. to’plam (agar u bo’sh bo’lmasa!) bo’lganda tekislikda chiziqdan, bo’lganda sirtdan iborat. Bu to’plamga funksiyaning sath chizig’i (yoki sirti) deyiladi.

1. 
   masalaning qo’yilishidan va (7) to’plamlarning aniqlanishidan tushunarliki,
   

.
Demak, geometrik nuqtai nazardan, (1) masalani yechish to’plam bilan to’plam kesishadigan eng kichik (eng katta) sonni topishga keltiradi. Bunda nuqtalar (1) masalaning yechimidan, esa, funksiyaning to’plamdagi minimal (maksimal) qiymatidan iborat bo’ladi. nuqta to’plamning ichki nuqtasi (3_a)-chizma) yoki chegaraviy nuqtasi (3_b)-chizma) bo’lishi mumkin.
I z o h. Funksiyaning o’zgarish xarakterini ko’rsatish uchun, sath chizig’ining qaysi tomonida funksiya dan katta qiymat qabul qilsa, shu tomonga “+” ishora, ikkinchi tomonga esa “-” ishora qo’yish foydalidir.

a) b)
3-chizma
5- m i s o l. . Bu masalaning rejalar to’plami , markazi nuqtada bo’lgan birlik doiradan iborat. Maqsad funksiyasining sath chizig’i bo’lganda, radiusli va markazi (2,1) nuqtada bo’lgan aylanadan iborat; bo’lganda to’plam nuqtaga aylanadi bo’lganda esa, bo’sh to’plamdir (4-chizma). Chizmadan tushunarliki, maqsad funksiyasining minimum va maksimum nuqtalari , , aylanalarning doiraga urinish nuqtalaridan iborat bo’ladi. doiraga dastlabki urinuvchi aylana minimumni aniqlaydi, oxirgi marta urinuvchi aylana esa, maksimumni aniqlaydi.


4- chizma.
Bu urinish nuqtalari esa, va nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq bilan aylananing kesishish nuqtalaridir. Demak, - minimum nuqtasi, maksimum nuqtasi bo’ladi.