Vektorlar ustida ko’paytirish amali

Xossalari
1. 2.
3. 4.
Ortonormallangan bazis uchun

Teorema. Nol boʻlmagan ikkita vektorning skalyar koʻpaytmasi nolga teng boʻlsa, bu vektorlar oʻzaro perpendikulyar boʻladi va aksincha.
Agar va vektorlar ortonormallangan bazisda va vektorlar koordinatalari bilan berilgan boʻlsin.
U holda va vektorlar yoyilmalarga ega boʻladi.
Koordinatalari bilan berilgan ikki vektorning skalyar koʻpaytmasi bu vektorlar mos koordinatalarri koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni

Ma’lumki,
(13)
Demak, koordinatalari bilan berilgan a vektorning uzunligi uning koordinatalari kvadratlarining yigʻindisidan olingan arifmetik kvadrat ildizga teng.
4-misol. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalyar koʻpaytmasi hamda uzunliklari topilsin.

Agar vektorlar koordinatalari bilan berilgan boʻlsa, skalyar koʻpaytmadan foydalanib, vektorlar orasidagi burchakni, vektorlarning oʻqidagi proyeksiyalarni hisoblash mumkin.
Misol. Berilgan va vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechish.
Vektorlar orasidagi burchak.
Ikki vektor hamda vektor va oʻq orasidagi burchak tushunchalarini kiritamiz. Aytaylik va vektorlar berilgan boʻlsin. Bu vektorlar boshini biror 0 nuqtaga joylashtiramiz, boshqacha aytganda va vektorlarni yasaymiz.

7-chizma

U holda ning ichki burchagi va vektorlar orasidagi burchak deyiladi hamda koʻrinishda yoki harflar bilan belgilanadi. va vektorlar orasidagi burchak deb, vektorlardan birini soat strelkasiga teskari yoʻnalishda ikkinchi vektor bilan ustma-ust tushguncha aylantirishdan hosil boʻlgan burchaklarning kichigiga aytiladi. Vektorlar orasidagi burchak, 0⁰ dan 180⁰ gacha oraliqda boʻladi. Bundan koʻrinadiki bir xil yoʻnalishdagi kollinear vektorlar
orasidagi burchak 0⁰ ga, qarama-qarshi yoʻnalishdagi kollinear vektorlar orasidagi burchak esa 180⁰ ga teng boʻladi. Agar vektorlar orasidagi burchak 90⁰ ga teng boʻlsa, ular perpendikulyar yoki ortogonal vektorlar deyiladi va kabi belgilanadi.⁴