Vektorlar

Vektorlarni skalyar, vektor va aralash kópaytmalari. Ularning
xossalari. Vektorlar orasidagi burchak. İkki vektorning kollinearlik va komplanarlik shartlari

1. 
   Skalyar ko’paytmaning ta’rifi.
   
2. 
   Skalyar ko’paytmaning xossalari.
   
3. 
   Skalyar ko’paytmaning koordinatalardagi ifodasi.
   
4. 
   Ikki vektor tashkil qilgan burchak.
   
5. 
   Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va uning xossalari.
   
6. 
   Mashqlar.
   

Mavzuning bayoni:
V₃ da ikkita va vektorlarni qaraylik. Ularni biror O nuqtaga qo’yamiz.
Ta’rif: , vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb shu vektor larning uzunliklari bilan ular hosil qilgan burchak kosinusini ko’paytirishdan hosil qilingan songra aytiladi.
Skalyar ko’paytma yoki orqali belgilanadi. Ta’rifga ko’ra
(1)
Masalan: bo’lsa,
Natija: Nol vektorni har qanday vektorga skalyar ko’paytmasi nolga teng.
Xossalari: 1) o’rin almashtirish o’rinli;
Isbot: ko’ramizki, .
3) Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi ulardan birining uzunligi bilan ikkinchisining birinchisi yo’nalishiga tushirilgan proeksiyasi ko’paytmasiga teng, ya’ni
Isbot:
chap tomonlarning tengligidan o’ng tomonning tengligi kelib chiqadi.
4) ;
5) .
Isbot:
Natijalar: 1) vektorning uzunligi
(6)
ga teng.
2) (1) dan (7)
(5) va (6) ni e’tiborga olsak,
(8)
3) va vektorlarning perpendikulyarlik sharti (8) formula bo’yicha quyidagicha aniqlanadi: (9)
1-misol: vektorlarning skalyar ko’paytmasini aniqlang.
Yechish:
2-misol: vektorlar tashkil qilgan burchakni aniqlang.

3-misol:
Yechish:
Tekislikda koordinatalar sistemasi qanday kiritilgan bo’lsa, fazoda ham shunday kiritiladi.
OX, OY, OZ perpendikulyar to’g’ri chiziqlar O nuqtada kesishib, fazoni 8 ta oktantga ajratadi. OX o’qning musbat yo’nalishiga vektorni, OU o’qining musbat yo’nalishiga vektorni, OZ o’qning musbat yo’nalishiga vektorni qo’yamiz. ni dekart reper deb ataymiz.
Agar A nuqta B reperda A(x₁,y₁,z₁) koordinatalarga, V nuqta B reperda V(x₂,y₂,z₂) koordinatalarga ega bo’lsa, u holda
(1)
A gar S(x,u) nuqta AB to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lib, AB kesmani λ nisbatda bo’lsa, u holda (8) tenglik o’rinli bo’ladi.
A, V, S nuqtalarning koordinatalari orasida
munosabatlar tekislikdagi kabi saqlanadi. S nuqta AB kesmaning o’rtasi bo’lganda

formulalarga ega bo’lamiz.
Ta’rif: va vektorlarning vektor ko’paytmasi deb quyidagi uchta shartni qanoatlantiruvchi ga aytiladi:
1 ) ;
2) ;
3) , , vektorlar umumiy boshga keltirilib, ning uchidan va vektorlar yotgan tekislikka qaraganda vektordan vektor tomonga qarab eng qisqa yo’l bilan burilish soat strelkasi xaraktiga teskari bo’lsin, (o’ng sistema). Vektor ko’paytmani bilan belgilaymiz.
Ta’rifdagi shartlar quyidagi geometrik ma’no kasb etadi:
1-shartdan vektorning moduli va vektorlar bo’yicha qurilgan parallelogramm yuziga tengligi kelib chiqadi.
2-shartdan [ , ] vektor ko’paytma parallelogramm tekisligiga perpendikulyar vektor ekanligini aniqlaydi.
3-shart vektorning yo’nalishini aniqlaydi. 14-chizmada , , vektorlar o’ng uchlik tashkil etadi.
1-misol: vektorlarga yasalgan parallelogramm ning yuzini va uning diagonallari uzunliklarini toping.

2-misol: Uchlari A(3,0,5), V(3,-2,2), S(1,2,4) nuqtalarda bo’lgan AVS uchburchak yuzini toping.
Yechish: