Vektorlarning o’qdagi proyeksiyasi

VEKTORLARNING O’QDAGI PROYEKSIYASI
Vektorlarning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari. Vektorning koordinatalari. Geometrik vektorni yo’naltirilgan kesma deb qarashga bo’ladi. Yo’naltirilgan kesmaning o’qdagi proyeksiyasi va koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari haqida biz oldin ko’rib chiqqan edik va bu haqida tushunchalarga egamiz. Demak, bu tushunchalarni erkin holda vektorlarga ham qo’llashimiz mumkin.
Vektorlarning algebraik yig’indilari haqida ham shularni aytishimiz mumkin.
Endi biz vektorlarning tekislikdagi koordinatalari tushunchasiga to’xtalib o’tamiz. Mayli, XOY- tekislikdagi to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi , a boshi koordinatalar boshida bo’lagan ixtiyoriy vector bo’lsin.
Bu holatda a vektorning OX va OY o’qlariga tushirilgan proyeksiyalari x va y berilgan a vektorning koordinatalari deyiladi.

Koordinatalari x va y bo’lgan vektorni ko’rinishida belgilash qabul qilingan, ya’ni

Masalan, yozilish, absissasi -5 , ordinatasi 3 bo’lgan vektorni, ya’ni A(-5;3) nuqtaning radius vektorini ifodalaydi.
Agar ikkita va vektorlar berilgan bo’lsa, u holda ularning yig’indisining koordinatalarini ham aniqlash mumkin:

Bu 62-chizmada aniq ko’rsatilgan. Bunda, , ,
Demak,
Xuddi shunga o’xshash, agar a vektorning koordinatalari bo’lsa, u holda vektorning koordinatalari bo’ladi ya’ni,

Buning to’g’riligini 63-chizmadan ko’rishimiz mumkin. Biz soddalashtirish maqsadida vektorni koordinata boshiga ta’sir qiladi deb qabul qildik. Bu shart emas. Aytaylik, to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida va nuqtalari berilgan bo’lsin. Bu holatda vektorning koordinatalari bosh nuqtasi A ning koordinatalari va uning uchi bo’lgan B nuqtaning koordinatalari orqali quyidagini anglatadi:

Demak,

Agar a vektorning OX o’qdagi musbat yo’nalishi bilan hosil qilgan burchagi berilgan bo’lsa, u holda vektorning koordinatalari uchun


Tengliklarni yozish mumkin.
Agar,

ni hisobga olsak, u holda u koordinatalari bilan berilgan ikki vektorning kollinearlik shartini keltirib chiqarish mumkin.
Berilgan ikkita va vektorlarning bittasi ikkinchisini biror soniga ko’paytishishdan kelib chiqadigan holatda, ya’ni b= bo’lgandagina kollinear bo’ladi. Demak,

Tenglik koordinatalar orqali quyidagicha bo’ladi:

Bundan, va ekanligi kelib chiqadi ( vektorlar teng bo’lishi uchun ularning mos vektorlari teng bo’lishi kerak).
Oxirgi ikki tenglikdan

Yoki,

Tenglik kelib chiqadi. Bu ikki vektorning (a va b) kollinearlik shartini ifodalaydi.
Shunday qilib, koordinatalari bilan berilgan ikki vector kollinear bo’lishi uchun ularning mos koordinatalari o’zaro proporsianal bo’lishi kerek.
Misollar.

1. 
   vektori berilgan. Agar vector boshidan (A) koordinatalari berilgan bo’lsa, uning uchining (B) koordinatalarini toping:
   

1. 
   A(4;-3), b) A(-7;2)
   

Yechish:

1. 
   demak,
   

.
Javob : B(0;6)

2. 
   
   

.
Javob: B(-11;11)

2. 
   vektori berilgan. Agar vektoening uchining (B) koordinatalari berilgan bo’lsa , uning boshining(A) koordinatalarini toping:
   

1. 
   B(5;-3), b) B(-2;0)
   

Yechish:

1. 
   
   

.
Javob: A(8;-8)

2. 
   
   

.
Javob: A(1;-5)