Vi bob matematik nazariyalar

1- izoh. 2- ta’rifdagi « » va « » formal simvollar emas. Ular metatilda foydalaniladigan matematik o‘zgaruvchilardir. Shuning uchun « » formal ifoda emas. Agar « » va « » o‘rniga termlar qo‘yilsa, u holda u formal ifoda bo‘ladi.
2- izoh. 3- ta’rifdagi « » va « » hamda « » matematik o‘zgaruvchilardir. Ularning o‘rniga mos ravishda ma’lum qiymatlari qo‘yilgandagina, ta’rifdagi ifodalar formulalarga aylanadi.
Peano aksiomalar sistemasi quyidagilardan iborat:
1) 0 – natural son;
2) har qanday natural son uchun boshqa natural son mavjud va uni son ketidan keladigan deb ataladi;
3) har qanday natural son uchun ;
4) agar bo‘lsa, u holda ;
5) agar biror xossa bo‘lib, ayrim natural sonlar bu xossaga ega bo‘lishi, boshqa natural sonlar esa bu xossaga ega bo‘lmasligi mumkin bo‘lsa va agar:
(1) 0 natural son bu xossaga ega va;
(2) har qanday natural son uchun, agar son xossaga ega bo‘lishidan natural son ham xossaga ega bo‘lishi kelib chiqsa, u holda hamma natural sonlar xossaga ega bo‘lishi kelib chiqadi (induksiya qonuni (prinsipi)).
Bu aksiomalar to‘plamlar nazariyasining ayrim fragmentlari bilan birgalikda, E. Landau⁵ ko‘rsatganidek, nafaqat natural sonlar, balki haqiqiy, ratsional va kompleks sonlar nazariyalarini yaratishga yetarlidir. Ammo bu aksiomalarda intuitiv tushunchalar mavjud, masalan, xossa tushunchasi. Bu narsa butun sistemani qat’iy formalizasiya qilinishiga to‘sqinlik qiladi. Shuning uchun Peano aksiomalari sistemasiga asoslangan yangi birinchi tartibli nazariya yaratamiz. nazariya elementar arifmetikaning hamma asosiy natijalarini keltirib chiqarishga yetarlidir.
Bu birinchi tartibli nazariya bitta predikat harf, yagona predmet konstanta va uchta funksional harflarga egadir. Formal emas arifmetika bilan aloqani uzmaslik uchun uning belgilaridan foydalanib, , va ( ) quyidagicha yozamiz:
o‘rniga ,
o‘rniga ,
o‘rniga ,
o‘rniga ,
o‘rniga ,
bu yerda va – termlar.
natural sonlar nazariyasi quyidagi maxsus aksiomalarga ega.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. ;
9. ,
bu yerda – natural sonlar nazariyasining ixtiyoriy formulasi.
1–8- aksiomalar aniq formulalardir, ammo 9- aksioma cheksiz aksiomalar to‘plamini tug‘diradigan aksiomalar sxemasidan iborat.
Bu aksiomalar sxemasi matematik induksiya⁶ prinsipi deb ataladi va u Peano aksiomalar sistemasidagi 5- aksiomaga umuman mos kelmaydi, chunki 9- aksiomalar sxemasi faqat nazariyasi formulalari orqali aniqlanadigan sanoqli xossalar to‘plami bilan ish ko‘radi.
Nazariyaning 3- va 4- aksiomalari Peano aksiomalar sistemasining 3- va 4- aksiomalariga mos keladi.
Peano aksiomalar sistemasidagi 1- va 2- aksiomalar 0ning va «ketidan keladigan» amalning mavjudligini ta’minlaydi, nazariyada esa, bularga 0 predmet konstanta va funksional harf mos keladi. nazariyadagi 1- va 2- aksiomalar tenglikning ayrim zaruriy xossalarini ta’minlaydi. Dedekind va Peano bu xossalarni intuitiv aniq deb faraz qilgan edilar. Nazariyadagi 5–8- aksiomalar rekursiv tengliklarni ifodalaydi. Bu aksiomalar qo‘shish va ko‘paytirish amallarini aniqlaydi.
Dedekind va Peano bu aksiomalarga mos keladigan hech qanday postulatlar⁷ formulirovkasini berishmagan edi, chunki ular intuitiv to‘plamlar nazariyasidan foydalangan edilar. To‘plamlar nazariyasida nazariyadagi 5–8- aksiomalarni qanoatlantiruvchi , amallar chiqariluvchidir.
9- aksiomalar sxemasidan quyidagi induksiya qoidasini hosil qilamiz: agar va bo‘lsa, u holda .
nazariyaning aksiomalar sistemasidan quyidagi natijalar kelib chiqadi. Bu natijalardan formulalarni soddalashtirish va, umuman olganda, teoremalarni oddiyroq isbotlash uchun foydalaniladi.