Vi всероссийской студенческой конференции (28-29 марта 2012 г.) Уфа Башкирский гау 2012

О НЕКОТОРЫХ ИНТЕРЕСНЫХ ЭФФЕКТАХ, СВЯЗАННЫХ
С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 
 
В работах Баренблатта Г.И, Зельдовича Я.Б, Самарского А.А. и других 
математиков найдены точные аналитические решения некоторых задач 
нелинейной теплопроводности, анализ которых позволил обнаружить ряд 
важных эффектов. Передо мной была поставлена задача реализовать в маткаде 
эти решения и проследить за этими эффектами. 
К нелинейным моделям приводит учет зависимости коэффициента 
теплопроводности от температуры. Сначала нами была рассмотрена задача о 
распространении теплового фронта от мгновенного точечного источника по 

---

0
100
200
300
0
100
200
300
Ts x 0.01
, 
(
)
Ts x 1
, 
(
)
Ts x 20
, 
(
)
Ts x 30
, 
(
)
Ts x 40
, 
(
)
x
бесконечному стержню в случае постоянного коэффициента теплопроводности. 
Мы убедились в наличии известного дефекта линейных моделей– 
бесконечности скорости распространения теплового фронта. Затем была 
рассмотрена нелинейная модель со степенной нелинейностью в коэффициенте 
теплопроводности. Как показали численные эксперименты, температурный 
фронт распространяется уже с конечной скоростью, что лучше согласуется с 
действительностью. Была реализована также нелинейная модель с 
поглощением тепла, пропорциональным температуре. 
Затем были рассмотрены задачи для полубесконечного стержня с 
заданным граничным режимом на конце стержня. В зависимости от закона 
нагрева конца стержня возможны различные режимы распространения 
теплового фронта. Нами были смоделированы ситуации, когда тепловое поле 
имеет вид бегущее волны, распространяющейся от границы вглубь вещества с 
конечной скоростью. Наконец наиболее интересный эффект - эффект 
локализации теплового фронта в ограниченной зоне стрежня, наблюдался в 
случае режима с обострением, когда граничный режим согласован со степенной 
нелинейностью. Реализация таких условий является одной из важных задач в 
проблеме управления термоядерного синтеза. Как видим из рисунка, тепловой 
фронт достаточно быстро доходит до 
200
=
x
и дальше не распространяется, 
хотя температура в зоне локализации продолжает расти.
 
УДК 332.6 
Нуриев В.Р., ФГБОУ ВПО Башкирский ГАУ 
Научный руководитель - Габдрафиков Ф.З., д-р техн. наук, профессор