Вычисление ранга матрицы с использованием эквивалентных перестановок

Пример 1
А =
Как решить?
Поскольку элемент а₁₁а₁₁ отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 
А = ~
Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1‑ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибав­ля­ем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1): 
~ А⁽¹⁾ = ~ A⁽²⁾ =
=  =
=
Элемент а₂₂⁽²⁾ отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А⁽²⁾ на  :
A⁽³⁾ = ~ A⁽⁴⁾ = -=  =

• 
  К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответст­вую­щие элементы 2-ой строки ,которые умножены на  ;
  
• 
  к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на ;
  
• 
  к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на .
  

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований, мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank (A⁽⁴⁾)=2. Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.


Замечание 
Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближен­ные значения!


Пример 2
* (-1) ~ _* (-4) ~
* (2) ~

Ранг = Ранг = 3.

Алгоритм для вычисления ранга матрицы с помощью языки программиро­ва­­ния на основе метода Гаусса‑Жорда­на
Сейчас рассмотрим алгоритм для вычисления ранга матрицы на основе Гаусса-Жордана и реализуем этот алгоритм с помощью языка програм­мирования с++.

1. 
   Функция rank принимает матрицу m x n, представленную в виде std::vector>, и возвращает ее ранг в виде целого числа.
   
2. 
   Он использует исключение Гаусса-Жордана для преобразования A в форму редуцированного эшелона строки (ФРЭС), которая имеет свойство, заключающееся в том, что каждая ненулевая строка имеет начальную ненулевую запись (pivot), которая находится справа от ведущей ненулевой записи строки над ней.
   
3. 
   Ранг A — это количество ненулевых строк в ФРЭС.
   
4. 
   Цикл по столбцам A находит сводную строку для каждого столбца, начиная сверху и игнорируя предыдущие строки, которые уже были уменьшены до нуля. Если сводка не существует, столбец игнорируется.
   
5. 
   Сводная строка перемещается в верхнюю часть ненулевых строк A, путем замены ее на первую ненулевую строку под ней.
   
6. 
   Остальные строки, расположенные под сводной строкой, уменьшаются путем вычитания кратного значения сводной строки, так что каждый столбец под сводной строкой имеет 0 во всех строках, кроме сводной строки.
   
7. 
   Цикл по столбцам продолжается до тех пор, пока в A не останется больше столбцов или ненулевых строк.
   
8. 
   Функция возвращает ранг A.
   

Примечание: Реализация предполагает, что входная матрица A имеет по крайней мере одну строку и один столбец. Если A пусто, функция вернет 0.